Probabilités

[invite288bf54b]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un peux m'aider SVP...

On jette 5 dés. Après le premier lancer, on reprend et on lance les dés qui n'ont pas donné de six.
On continue ainsi jusqu'à ce que l'on obtienne 5 six. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

1. Donner la fonction de répartition de X. En déduire P(X=n) pour tout n appartient IN*

2. Combien de lancers sont nécessaires en moyenne pour obtenir les 5 six ?

Réponses :

1. Pour tout n appartenant à IN, P(X<=n) = (X_1<=n,X_2<=n,....,X_5<=n) =P(X_i<=n)^5
or P(X_i <=n)=1-(5/6)^n donc P(x<=n) = (1-(5/6)^n)^5

Donc F_X :=(1-(5/6)^n)^5

P(X=n) = P(X<=n) - P(X<= n-1) = (1-(5/6)^n)^5 - (1-(5/6)^(n-1))^4 ??????????? je ne suis pas sûr ....

2. Je calcul l'Espérance

E(X) = 1/p = =6/5 ??????

Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

Tout va bien jusqu'au calcul de P(X=n) où tu n'as pas écrit correctement P(X<=n-1). Pourquoi la puissance 5, valable pour tout nombre de lancers changerait quand tu changes le nombre de lancers ?
Pour la 2, je ne sais pas pourquoi tu écris cela, pourquoi 1/p. Donc je ne peux pas t'aider.

Cordialement.

NB : Tu avais bien commencé, dommage !

[invite9dc7b526]

bonjour,

je ne comprends pas la réponse à la question 1. Que sont les variables aléatoires X_1,..,X_5 ?

[invite288bf54b]

E(X) = 1/p car c'est X suit une loi géométrique.....

P(X=<n-1) = ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite288bf54b]

c'est i=(1,2....,5)

[invite51d17075]

E(X) = 1/p car c'est X suit une loi géométrique.....
.

si tu veux dire que P(X=n) suit une loi géométrique ? c'est faux.

[gg0]

La loi de X, que tu as définie précédemment, n'est manifestement pas la loi géométrique de paramètre 5/6 Quelle est la probabilité P(Y = k) si Y suit une loi géométrique de paramètre 5/6 ?. D'ailleurs, le résultat que tu annonces est intuitivement très faux : On n'obtient pas les 5 six en moyenne en un peu plus d'un essai. on sens bien qu'il faut presque toujours relancer quelques dés, donc que Y est nettement au dessus de 2 en moyenne.

C'est bizarre, on pourrait croire que le début de la résolution n'est pas de toi.

[invite51d17075]

re-
perso, je n'ai pas trouvé d'astuce ( encore ? ) pour simplifier P(X=n) et donc de calculer l'Espérance.
En revanche, par tableur, on obtient un chiffre quasi "rond".

[pilum2019]

L'espérance exacte est (lol !) : 3698650986/283994711 soit environ 13.
Mais j'attends que lolo1546 me montre un peu plus de son travail pour expliquer tout ceci.

[invite51d17075]

c'est effectivement ce que je trouve.
ps : tu l'as calculée analytiquement ?

[invite51d17075]

mon éventuelle idée était de considérer la proba continue (*)

et de calculer

mais même avec un bon changement de variable, ça reste bien lourd.
une intégrale du type
avec P polynôme de degré 5.

(*) sans compter que j'ai un doute sur la pertinence de l'approche.

[pilum2019]

Alors la valeur exacte, je l'ai obtenue en décomposant la somme en 4 ou 5 sous-sommes, dont la première est une série téléscopique, et sachant que les autres sous-sommes sont des séries géométriques.

En ce qui concerne l'approche continue : est-ce que l'intégrale de P(X=x) vaut 1 ??

[invite51d17075]

non, marche pas, j'aurais du vérifier. !!!!!
reste que le calcul brut semble bien lourd quand même.