Est ce qu'on peut calculer l'angle de Paris avec l'écliptique selon l'heure.

[Youri Gagarine]

Bonjour!
J'ai posé cette question en section maths, parce qu'il s'agit de trigo, plutôt que d'astronomie.

Sur ce schéma on voit la Terre,
le point rouge 1 indique Paris, à midi. Angle 71° par rapport à l'écliptique. (plan horizontal ou orbite la Terre autour du soleil)
Le point rouge 2 indique Paris, à minuit. Angle 23° par rapport à l'écliptique.
La ligne verte indique le déplacement de Paris sur le globe, de midi à minuit.

Est ce qu'on peut calculer l'angle de Paris avec l'écliptique entre ces deux intervalles de temps?
Par exemple à 13h, 14h, 15h etc.. jusqu'à minuit.

Merci pour vos explications.

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[ansset]

bjr:
pièce jointe non encore visible.
mais avant, d'où viennent ces chiffres de 71° et 23° ?

[Youri Gagarine]

Latitude Paris: 48° + Inclinaison de la Terre: 23° sur l'écliptique = 71°

[ansset]

OK, on est au solstice d'Hiver .
Alors on sait que midi correspond bien à "l'angle" le plus important et inversement pour minuit.
Mais tes angles ne sont pas orientés , ce qui peut être source de confusion dans les calculs.
Il est préférable de considérer qu'à midi l'angle ( avec l'écliptique ) est de 180-71=109°
donc le soleil va aller de 109° à 23° en parcourant la moitié d'un cercle entre les deux horaires.

à chaque heure correspond un nouvel angle sur ce cercle.
on peut prendre comme convention que
à chaque heure , on avance de 1/12 de 180°.
ce qui donne un nouvel
à celui ci correspond ( par projection ) à une nouvelle position sur la droite allant de 1 à 2 , et donne donc un nouvel angle / écliptique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Youri Gagarine]

Merci Ansset.
Donc un angle de 15° toutes les heures (= rotation de la Terre)

Midi=109°
13h = 94°
14h = 79°
...
Minuit = 23°
Aussi simple que ça? Je m'attendais à des équations trigo complexes.

En fait ma difficulté était qu'il faut visualiser ces angles en 3 dimensions. Simple à midi et minuit, mais plus complexe pour le reste.
Merci pour ton aide.
Youri

[ansset]

Non, ce n'est pas ça, tu as deux angles.
l'angle qu'on parcoure sur son fuseau horaire de 0 à 12 h que j'ai appelé
à celui ci correspond une rotation sur le cercle que tu balayes.
à chaque heure on avance bien de 180°/12 soit 15° sur le cercle dont le diamètre est (Point1=A;Point2=B).
si O est le centre de la droite,
R=OA
x=OM alors
x=Rcos()
à chaque nouvelle position de M correspond un nouvel angle avec l'écliptique

donc, pas si simple.
je te laisse chercher un peu.

[ansset]

Je veux bien finir le calcul, mais il faudrait partir de chiffres qui collent.
Dans ton schéma Paris change de latitude !!!
A midi , c'est 48° nord , et à minuit 23°+23° =46°.

et en réel, je crois que c'est plutôt 49°.

[Youri Gagarine]

Merci, mais vraiment je galère avec ces deux angles.
Je connais mon angle
Je connais R, et ça me donne OM ... mais après?
Merci pour ton aide!
Schéma:

[ansset]

reprenons avec des données cohérentes.
on garde les 23° d'inclinaison de la terre et les 48° de latitude de Paris.
ce qui donne 180°-71°=109° ( orienté) d'angle à midi / écliptique
de l'autre coté , on a forcement 48°-23°=25° ( et pas 23 )

soit donc qui représente l'angle cherché qui varie de 109° à 25° quand l'heure avance entre midi et minuit.

rappel est l'angle ( horaire ) d'avancement en degrés = 15h/180 ( h heures , 0h à midi , 12h à minuit )
soit C : centre de la terre
O : milieu de la droite entre les point A1 et A2
M(h) : projection de notre position sur la droite
le triangle A1CA2 fait un angle de 180-2*48=84° donc son demi-angle=42°
donc tan(42°)=OA1/OC
j'appelle l'angle en C de MCO qui varie donc de +42° à -42°
au final on aura à la fin =+25°+42°=+67° ( un dessin serait mieux)

tan()=OM/OC et avec la relation précédente
tan()=OM*tan(42°)/OA1

Or on a OM=OA1*cos() donc
tan()=cos()*tan(42°)
=Atan(cos()tan(42°))
=Atan(cos(15h/180)*tan(42°))
et le récherché = +67°

[Youri Gagarine]

Merci pour ton aide, c'est effectivement pas si facile que ça.

J'ai juste un petit souci avec l'angle : Angle ( horaire ) d'avancement en degrés = 15h/180 ( h heures , 0h à midi , 12h à minuit )
Où le placer sur le schéma?
Et donc je ne comprends pas

Merci pour ta patience!

[ansset]

Et donc je ne comprends pas

c'est exactement ton schéma post #8
au final le cos() varie entre +1 et -1, mais pas linéairement.
donc cos()*tg(42°) varie entre +tg(42°) et -tg(42°) et non linéairement aussi
d'où varie bien entre 109° et 25°

[ansset]

ps : normalement il faudrait inverser ( remplacer midi et minuit ) vu les valeurs des angles que tu donnes au départ.
et rappelons que ce que tu nomme "angle" ici est l'angle entre et .
où C : centre de la terre
S : Soleil
P : Paris

[Youri Gagarine]

Merci Ansset pour tes réponses, je commence à comprendre.
Si tu as un moment, juste une dernière question:
Dans ton commentaire n°9, tu écris:

=Atan(cos(15h/180)*tan(42°))

Que signifie: cos(15h/180)?

Merci.

[ansset]

par rapport à ta figure au post #10
Le Point P sur la terre ne va pas du point A1 au point A2 en ligne droite, il suit un cercle de centre C ou A1 et A2 sont les deux "pôles". (P comme Paris )
l'angle ici 15h/180 '(en degré ) correspond à l'angle entre CP et CA1 ( et vaut donc 0 quand h=0° et 180° quand h=12 )
M est la projection de ce point P sur la droite A1A2.

[Youri Gagarine]

l'angle ici 15h/180 '(en degré ) correspond à l'angle entre CP et CA1 ( et vaut donc 0 quand h=0° et 180° quand h=12 )
M est la projection de ce point P sur la droite A1A2.

Merci.
Mais pourquoi 15h?
De midi à minuit on a 12h et non pas 15h!

[Youri Gagarine]

Merci.
Mais pourquoi 15h?
De midi à minuit on a 12h et non pas 15h!

Ah, ok: 15°/h. Soit sur 12h: 15*12=180°

[Youri Gagarine]

En reprenant toutes vos équations, merci pour le temps passé, je découvre qu'en fait, cela ne répond pas à ma question, mal posée c'est vrai!
Je cherche l'angle que fait la droite CP avec le plan de l'écliptique, non pas sur l'axe des X, mais sur l'axe des Z, donc dans la profondeur.
Cet angle est nul à midi et à minuit, et il est égal à 48° à 18h (et 6h).
Merci pour votre aide!

[ansset]

j'attends ta pièce jointe.
Car j'ai l'impression que tu changes tout.
Et je ne comprend pas tes valeurs 0° -> 0°.
( c-a-d la nature de la projection de ta droite sur le plan )

PS : les angles que tu décris sur ton schéma sont forcement faux:
regarde / plan de l'écliptique, tu as
23+2*(48)+2*(42)=203°
alors que cela devrait faire 180°

[Youri Gagarine]

j'attends ta pièce jointe.
Car j'ai l'impression que tu changes tout.
Et je ne comprend pas tes valeurs 0° -> 0°.
( c-a-d la nature de la projection de ta droite sur le plan )

PS : les angles que tu décris sur ton schéma sont forcement faux:
regarde / plan de l'écliptique, tu as
23+2*(48)+2*(42)=203°
alors que cela devrait faire 180°

Ah, est ce que je ne représente pas bien les arcs sur le schéma?
Pourtant on a bien de gauche à droite:
23+48+2*(42)+(48-23)=180°

Sinon, je n'ai rien changé, le schéma est exactement le même, sauf que je ne vois pas comment arriver à calculer l'angle de la droite CP avec l'écliptique, mais dans la profondeur.
Soit l'angle: CP^CM

Et là je pense que c'est beaucoup plus complexe!

[ansset]

OK, c'est que ton 48° de droite s'arrête au plan ( alors que "dans ta tête" il inclus le 23° ).
Ton angle CP^CM est bêtement 15h/180....
Et il varie , lui , de 0 à 180° , il ne reviendrait à 0 que si tu considérais que a=pi-a.

Et je ne vois pas en quoi il représente celui / écliptique.

En général quand parle d'angle d'une droite et d'un plan , il s'agit d'une projection orthogonale.(*)
sinon, c'est une projection particulière qu'il faut préciser.

(*)car l'angle entre deux plans est trivialement définie.
si tu ne dis pas dans quel plan tu situe ta droite, cela peut être n'importe quoi.

[ansset]

par exemple si on prend l'axe de la profondeur Z ( ton dessin étant en x et y )
à la fois pour le plan de l'écliptique ET pour le plan contenant Paris parcourant son cercle,
alors cet angle entre les deux plans est tj le même dans ton cas de figure ( solstice )

Et Paris ne fait que décrire un cercle sur ce plan.

[Youri Gagarine]

Bon, on va bien y arriver!

Ce schéma représente la Terre vue depuis le soleil, on est sur le plan de l'écliptique. (on ne peut donc pas voir l'inclinaison de 23° de la Terre)
Paris (P) se déplace sur un cercle incliné de latitude 48°.

Comment calculer l'angle de la droite "OP" et le plan du méridien nord sud.

A midi cet angle est nul.
A 18h, cet angle est de 48°
A minuit, cet angle est nul.

Est ce que cet angle varie de façon linéaire de 8°/h, soit 48° en 6h?
Ou est ce qu'il suit une fonction trigo?

Merci pour ta patience!

[ansset]

C'est encore un reformulation un peu diff.
quand P parcoure son cercle, la droite OP forme un cone d'angle 48° et de sommet 0
normal puisque la latitude ne change pas.
tu t'intéresses ici à un angle qui serait celui de la projection de OP sur la droite reliant les positions de midi et minuit.
alors cette position est donc ici le sin(15(h-12)°).(*)
-à midi h=12 le sin est nul
-et à h=24 aussi ( l'angle vaut 180° )
- à 18h; 15*(18-12)°=90° et le sin vaut 1, et l'angle 48°
l'angle vaut


mais tout cela ne correspond à rien de spécial.

(*) j'ai fait des erreurs dans mes précédents mess.
en prenant les angles en degré, on laisse tel quel
en prenant les angles en radian , on multiplie par pi/180
désolé de ces fautes.

[Youri Gagarine]

Merci pour tes explications et ta patience.
Maintenant c'est clair

C
mais tout cela ne correspond à rien de spécial.

Pour toi!
Manier la trigo est plus complexe pour moi!