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Géométrie différentielle



  1. #1
    pointfixe

    Question Géométrie différentielle


    ------

    bonjour,
    J'ai quelques question de géométrie différentielle...
    Pour commencer, Je vois qu'une paramétrisation phi est qualifiée de régulière si phi est une immersion...
    Donc d'apres la définition d'une immersion phi' doit être injective... Jusque là ok, mais dans mon livre ils disent: "c'est à dire si phi' différent de 0", et la je ne vois pas pourquoi?
    De plus ils donnent des exemples:
    f(t)=(t,t^2) comme paramétrisation régulière
    et f(t)=(t^2,t^3) pour un point singulier...

    Mes questions:
    En quoi le fait que f soit une immersion est équivalent à f'(t) différent de 0?
    Ensuite pourquoi la premiere paramétrisation (cf exemple) est plus régulière que la deuxième?

    si quelqu'un peux me répondre rapidement cela m'aiderait beaoucoup... Merci!!

    -----
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

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  3. #2
    doudache

    Re : Géométrie différentielle

    Citation Envoyé par pointfixe
    En quoi le fait que f soit une immersion est équivalent à f'(t) différent de 0?
    Salut !

    Ce n'est vrai que pour une fonction de R dans Rn : en effet, pour une application linéaire entre ces deux espaces, le fait d'être injectif est équivalent au fait d'être de rang 1 et c'est encore équivalent au fait d'être non nul, car pour une telle application, les seules valeurs du rang sont 0 ou 1.

    En ce qui concerne ton problème de régularité, je ne comprend pas très bien la question, mais la deuxième a une différentielle nulle au point 0, donc n'y est pas une immersion. Trace les deux courbes paramétrées :
    - la première est une gentille parabole, bien lisse
    - la seconde a un point de rebroussement en 0.

    C'est donc la première qui est bien régulière.

  4. #3
    bretus

    Re : Géométrie différentielle

    salut!
    J'ai appris qu'une courbe paramétrée était régulière si et seulement si le vecteur dérivé était non nul en tout point.
    (dans ce cas il dirige la tangeante). Ce qui revient à phi' non nul.
    Par ailleur, j'viens d'aller voire la définition d'un injection donnée sur http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~...ch.f/mgeom.pdf paragraphe 2.6 comme étant une application dont la différentielle est injective (et non la dérivée) ce qui revient à un jacobien non nul pour tout vecteur.
    Je sais pas mais j'ai plus l'impression que cette notion d'immersion s'applique au changement de paramètre admissible qu'a la régularité.
    Sur l'exemple, f:t-> (t,t^2) est régulière pour tout t car f'(t)=(1,2*t) donc non nul pour tout t.
    pour le deuxième f'(t)=(2*t,3*t^2) qui s'annule en 0, donc (0,0) est un point irrégulier (la tangeante n'est pas dirigé par le vecteur dérivé en (0,0).
    En espérant que ceci t'aide...
    ++

  5. #4
    fderwelt

    Re : Géométrie différentielle

    Bonsoir,

    La réponse de Doudache est excellente; je me contenterai donc d'un petit commentaire "avec les mains", qui ne te dispensera jamais de regarder de très près de quoi il s'agit.

    Tu es dans le cas d'une courbe, c'est-à-dire d'une immersion de R dans Rn (et même R² dans ton cas précis), c-à-d d'une application t --> f(t) = (x(t),y(t)).

    Tu oublies seulement que l'application linéaire tangente f' n'est définie qu'en un point donné, disons f'(t0). Si elle est injective, on a une immersion au paramètre t = t0. Comme elle ne peut être que de rang 1 ou 0, elle est immersive si et seulement si elle est de rang différent de zéro, donc elle-même différente de zéro. Ce n'est pas vrai en dimension plus grande.

    Maintenant, le paramétrage t --> (t,t²) a comme application tangente t --> (1, 2t), qui ne s'annule évidemment jamais: donc une immmersion en toute valeur du paramètre.
    En revanche, t --> (t²,t³) a pour application tangente t --> (2t, 3t²), qui s'annule évidemment pour t = 0. Il y a donc une singularité à l'origine, comme tu peux d'ailleurs le constater en traçant la courbe (singularité de type "fronce" pour être précis).

    Pour la suite, regarde bien la définition des immersions/submersions, et toutes ces choses: ce ne sont que des propriétés locales, et il n'est pas toujours légitime de parler de "paramétrage régulier" sans préciser les domaines de définition.

    -- françois

    P.S. - Doudache, je n'ai pas oublié que tu as posé une question sur un de mes (anciens) fils, à propos des opérateurs différentiels d'ordre fractionnaire. Je suis en train de rédiger un mémo là-dessus, et je le publierai ici dès qu'il sera prêt, fin juillet normalement (ou avant si j'arrive à ne pas écrire trop de bêtises).
    Dernière modification par fderwelt ; 03/07/2006 à 01h02.
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doudache

    Re : Géométrie différentielle

    Citation Envoyé par fderwelt
    Doudache, je n'ai pas oublié que tu as posé une question sur un de mes (anciens) fils, à propos des opérateurs différentiels d'ordre fractionnaire. Je suis en train de rédiger un mémo là-dessus, et je le publierai ici dès qu'il sera prêt, fin juillet normalement (ou avant si j'arrive à ne pas écrire trop de bêtises).
    C'est super ! Merci beaucoup !

  8. #6
    pointfixe

    Re : Géométrie différentielle

    Merci beaucoup!
    "L'étude des mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence."

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