Bonsoir,
J'en discute depuis 2 jours avec pas mal d'autres étudiants et n'arrive pas à conclure...
Si on prend la différentielle d'ordre 1 d'une application linéaire, on arrive sur l'application lineaire elle même...
Mais quid de la différentielle d'ordre 2?
Est-ce également la fonction elle même ou est-ce la fonction nulle ?
Je suis sur que j'ai trouvé la réponse, mais quelqu'un de manifestement plus compétent que moi me dit le contraire...
Merci.
la différentielle seconde n'est sûrement pas égale à la différentielle d'ordre 1 puisque c'est une fonction (bilinéaire) de deux variables.
Merci. C'est déjà un éclairage!
Si f est une application linéaire.
On peut dire f(x+h) = f(x) + f(h) + 0
Donc moi je dirais que d'une part la différentielle d'ordre 1 est l’application elle même.
Et que d'autre part, vu que le reste est nul la différentielle d'ordre 2 est nulle.
Et puis si on note A la matrice de l'appli linéaire
Donc si on dérive on obtient 0.
Par contre...
La vraie série de questions posées était:
-Montrer qu'une application linéaire f de R^n ->R^m est différentiable
Ca je pense que la version f(X+H)= AX+AH = f(X)+f(H) réponds à la question...
Mais j'avoue avoir un doute sur les limites du passage de l'écriture f(X) à AX
(qu'en pensez vous? le passage de l’écriture fonction de X de R^n à la matrice multipliée par le vecteur colonne est il libre?)
Donc Df(X)=f
-Déduire que l'application linéaire est de classe
Ça c'est qui m'a fait lancer le débat....
La différentielle 1ere serait donc la fonction elle même... partout définie et continue donc C1
Du coup pour passer à la C2, on dérive à nouveau la fonction? on part sur la différentielle seconde?
Merci.
