Equations diférentielles... Term S

[invitebd97d45d]

Bonjour !

J'ai un exo pour demain, et je voudrais savoir pour une question si il serait possible de faire autrement :

t € [0 ; +00[
On a (E) : 25x' + 200x"" = 50
x' dérivée de x par rapport au temps
x'' dérivée seconde de x par rapport au temps

1° On note v(t) la vitesse du chariot au temps t; on rappelle que v(t) = x' (t).
Prouver que x est solution de (E) si, et seulement si, x' est solution de l'équation différentielle :
(F) : v' = -1/8v + 1/4
Résoudre l'équation différentielle (F).

2° On suppose que, à l'instant t=0, on a : x(0) = 0 et x'(0)=0.
a) Calculer, pour tou nombre réel t positif, x'(t) = 2t-16+16 e^-t/8 .

3° Calculer V = lim v(t)
t--> +oo

Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V?

4° Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 sec? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

Mes réponses :

_{Je ne détaille pas ce que j'ai pu faire :}

1° Les solutions de (F) sont de la forme :
v(t) = ke^-t/8 + 2 (k € R)

2°a) x(t) = -2e^-t/8 + 2.

b) La primitive t--> e^-t/8 est t--> -8e^-t/8
x(t) = -2 * (-8e^-t/8) + 2t + k
x(t) = 16e^-t/8 + 2t + k
x(0) = 0 Donc k = -16
et x(t) = 16e^-t/8 + 2t - 16

3) Lim v(t) = lim (-2e^-t/8 + 2) = 2
t--> +00

C'est pour cette question en gras que je bloque, une personne m'a dit qu'il fallait utiliser le logarithme (ln), on trouve certes le résultat, mais je voudrais savoir si il existait une autre méthode étant donné qu'on a pas encore abordé les logarithmes. Merci de m'aider !

4° x(30) = 44,4 m


Merci d'avance pour vos aides !
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[invite19415392]

Je n'ai pas vérifié le tout, et je répond donc juste à ton interrogation sur les 90%.

Le meilleur moyen, c'est bien la fonction ln, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(exp(x)) = x pour tout x réel.

Sinon, tu peux toujours procéder par dichotomie pour trouver une valeur approchée ...

Enfin, quand tu as peut-être mentionné dans ton cours que pour une fonction du type f(x) = K (1-exp(-x/L)), f vaut :
- environ 63% de K quand x=L
- environ 87% de K quand x=2L
- plus de 99% de K quand x=5L
Tu as d'ailleurs des courbes toutes faites de cette fonction, qui corresond typiquement à la charge d'un condensateur.

[invitebd97d45d]

Heuu... ça se mange la "dichotomie"?, lol

Dsl, mais on a pas encore vu ceci.

Merci quand même pour ta réponse !

[invite19415392]

C'est curieux, il me semble que c'était abordé en 1ère de mon temps ... J'me fais vieux ...

Sinon, la dichotomie ça consiste à prendre un intervalle, à regarder quelle valeur prend la fonction à ses bornes, et à le couper en deux pour trouver une valeur approchée.

Par exemple, la fonction f : x->x²
Je cherche x tel que f(x) = 1.3
Je sais que f(1) = 1, f(2) = 4 et que la fonction est continue, il y a donc au moins un x0 dans [1;2] tel que f(x0) = 1.3
f(1.5) = 2,25 > 1,3 => je restreint ma recherche à [1;1,5]
f(1,25) = 1,5625 > 1,3 => je restreint ma recherche à [1;1,25]
f(1,125) = 1,265625 < 1,3 => je restreint ma recherche à [1,125;1,25]
et tu t'arrêtes quand ton intervalle est de longueur la précision que tu recherches.
Par exemple, ici je pourrais dire que x0=1,1875 à 0,0625 près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd97d45d]

Ah si, on a déja utilisé ça, mais, j'savais pas que ca s'appelait la dichotomie. On fait souvent en utilisant le théorème de valeurs intermédiaires.

Mais, dans mon cas, je ne vois pas comment utiliser cette méthode, puisque je n'ai pas de fonction directe pouvant me donner la réponse? non?

[invite19415392]

Bein tu as v(t) = (-2e-t/8 + 2)
Évidemment, il faut une calculatrice (ou une table ) pour calculer les valeurs prises par ta fonction. La limite en l'infini c'est 2. 90% de 2 c'est 1,8 ; tu as v(0) = 0 , tu peux essayer quelques valeurs, genre v(80) qui te donne un résultat très proche de 2, donc supérieur à 1,8
Et zou, tu as v(0)<1,8<v(80) , et tu peux commencer la dichotomie. Tu devrais tomber sur un résultat proche de (et supérieur à) 16.

Mais franchement, ça m'étonnes que tu ne puisse pas utiliser la fonction ln, ou que tu n'aies pas de graphe de charge/décharge à utiliser.