Intégrale

[FBMeca]

Bonsoir à tous,

Je suis en train de me casser la tête sur une intégrale, qui est l'intégrale de 1 / x * sqrt(1+x^2) dx.

Elle ressemble par exemple à une intégrale du type 1 / x * sqrt(x-1) ou on peut poser un simple changement de variable u = x-1, or ici je ne vois vraiment pas quoi poser (je suppose qu'il s'agisse d'un changement de variable ici).

Déjà merci pour vos astuces!

Bonne soirée.
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[gg0]

Bonjour.

A priori, un changement de variable x=sh(t) devrait fonctionner (je n'ai pas vérifié), il permet de faire disparaître la racine carrée, car 1+sh²(t)=ch²(t).

Cordialement.

[gg0]

Question : Pourquoi ne pas l'avoir écrit sqrt(1+x^2)/x dx ?

[FBMeca]

Merci pour votre rapide retour!
Mince, j'ai oublié la parenthèse. Il s'agit donc de 1 / (x * sqrt(1+x^2)) dx.
Peut-on prendre un changement plus banal (si je puis dire...) pour cette intégrale vous pensez ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Manifestement, vu ce que répond un calculateur formel dans ce cas, non. Mais c'est du classique ...

[FBMeca]

C'est vrai qu'il s'agit sûrement d'un classique, il faut que je me les approprie !

Merci de votre aide, je vous en remercie!

[Dicedead]

Eyyo

Essaie d'abord d'intégrer en utilisant x = tan(u). Tu arriveras à l'intégration de 1/cos(x), cette-dernière possible par exemple en multipliant 1/cos(x) par cos(x)/cos(x) et en remplaçant le dénominateur par . Après le changement de variable x = arcsin(w), le numérateur se simplifie avec la dérivée d'arcsin(w), et il ne restera plus qu'une décomposition en éléments simples à effectuer. Pour tout remettre en l'ordre au final, note que .

C'est un peu long dit comme ça mais en fait ça va plutôt vite.
Tu peux ensuite t'inspirer de ces étapes pour intégrer , en notant que:
et .

En espérant que ce message t'ait aidé(e), bon courage

Tu peux ignorer les astérisques si tu connaissais ces identités trigos avant de lire ce post, sinon tu peux les trouver ainsi:
* en utilisant avec a = l'arcsin x puis l'arccos de x;
** en te plaçant dans un triangle rectangle d'hypothénuse et de côtés 1 et x puis en prenant l'angle dont la tangente vaut x/1 = x, puis en évaluant son cosinus et son sinus.

[FBMeca]

Merci beaucoup !

[Dicedead]

De rien!

Je précise juste: l'approche x = tan(u) est moins rapide (voire beaucoup moins si on ne connaissait pas de méthode efficace pour intégrer 1/sin(t)) que celle suggérée par gg0, qui a aussi l'avantage de n'avoir recours qu'à la réciproque du sinus hyperbolique sans user non plus des identités trigonométriques flanquées de 2 astérisques dans mon post.
Mais bon c'est toujours plus d'exercice..