Bonsoir, j'ai un système de deux équations différentielles non linéaire qui proviennent d'un problème de physique.
Voila les 2 équations:
Moi je cherche la valeur limite detel que R deviennent s'annule.
Sachant que je ne peux pas faire l’approximation des petits angles.
PS: J'ai mis une heure à écrire ce message en latex.
Bonsoir
quelles sont les variables fonctions du temps ? théta c'est clair mais quoi d'autre ? r ?
vous dites : "je cherche la valeur limite de théta tel que R deviennent s'annule."
R n'est donc pas une constante ? Elle dépend de quoi ?
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Vous avez raison, il manque des précision.m, r, g sont des constantes.
Bonjour,
Es-tu bien sûr de tes 2 équations ?
Si on dérive la 2ème :
OUPS, pas vu que R dépendait de theta et donc ne pas tenir compte de ma réponse
Dernière modification par Black Jack 2 ; 27/12/2019 à 08h23.
Rebonjour,
Si on dérive par rapport au temps la 2ème équation ...
et que dans le résultat de cette dérivation on tient compte que r.(d²theta/dt²) = -g.sin(theta) (1ere équation), on devrait aboutir, sauf erreur à :
3mg.sin(theta) * (dtheta/dt) = dR/dt
soit donc à : 3mg.sin(theta) * dtheta = dR
facilement intégrable, et qui, sauf erreur donne : R(theta) = K - 3mg.cos(theta) avec K une constante dépendant des conditions initiales.
R(theta) ne peut pas être identiquement nul ... mais peut s'annuler pour les valeurs de theta telles que : K - 3mg.cos(theta) = 0 ... si K a une valeur adéquate imposée par les conditions initiales.
Alors, la condition initiale:
à
Donc
Ainsi,
Le problème, c'est que R est toujours positive quelque soit la valeur de
AH oui est l'erreur...
Bonsoir,
Ta condition initiale n'est pas claire.
Dans ce que tu as écrit, rien ne dit que theta(t=0) = 0
Par exemple, on pourrait avoir en t = 0, theta = Pi/3 (radian) et R(Pi/3 radian) = mg (ou autre chose ????)
On aurait alors :
R(theta) = K - 3mg.cos(theta)
R(Pi/3) = K - 3mg.cos(Pi/3) = mg
K = mg + 3mg.cos(Pi/3) = 2,5 mg
--> R(theta) = 2,5mg - 3mg.cos(theta)
R(theta) = mg.(2,5 - 3.cos(theta)) ... qui s'annule pour cos(theta) = 2,5/3.
********
Quelle est vraiment une solution initiale ? (ne pas confondre t = 0 et theta = 0)
Bon alors voici d'où viennent ces équations.
On prend une buse circulaire. Au sommet, on pose une bille. L'angle
Donc à t=0,
Je veux savoir à partir de quel angle la bille quitte la buse; c'est à dire, quand est ce que la force exercé par la buse sur la bille(
Je peux dire que c'est entre pi/2 et pi.
Bonsoir,
Pour que la bille démarre, il faut l'écarter un poil de theta = 0 ...
Si la bille glisse sans rouler :
La Force appliquée par la bille sur la buse (direction bille - axe du cylindre) est F = mg.cos(theta) - mv²/R (composante du poids suivant la direction indiquée - force cenrifuge)
Or 1/2 mv² = mg.R(1-cos(theta)) (conservation de l'énergie mécanique)
--> F = mg.cos(theta) - 2mg.(1-cos(theta))
La bille quitte le cylindre pour F = 0 ... et donc mg.cos(theta) = 2mg.(1-cos(theta))
3.cos(theta) = 2
cos(theta) = 2/3
********
Je te laisse traiter le cas où la bille roule sans glisser.
C'est similaire, sauf que l'énergie cinétique n'est plus 1/2 mv² mais bien (1/2 m.v² + 1/2 J w²)
avec w = v/r (r rayon de la bille) et J le moment d'inertie de la bille par rapport à un axe passant par son centre.
Si la bille est pleine et homogène : J = 2/5 m.r²
J'ai trouvé dans ce cas : cos(theta) = 10/17
********
Et en pratique, si on essaie de tenir compte que la bille en cours de trajet va à la fois glisser et rouler ... c'est casse pipe.
De toutes manières, le résultat (angle où la bille quitte le cylindre) est compris entre les 2 résultats trouvés ci-dessus.
heuuu, je vais regarder cela attentivement et je reviens vers vous après.
C'est un peu pénible de devoir attendre 8 messages pour avoir enfin un énoncé clair; non ?Envoyé par gloups13
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
pour moi, je ne pensais pas utile de décrire d'où venait ces équations car je bloquais sur la résolution.
Bon, je ne suis pas d'accord avec vous. Vous dites:Donc pour vous;Or 1/2 mv² = mg.R(1-cos(theta)) (conservation de l'énergie mécanique)
Energie cinétique= 1/2mV²
Energie potentielle=mg.R(1-cos(theta))
Pour moi, Energie potentielle=mg.R(1+cos(theta)) car pour
Avec votre expression, elle est nulle donc ce n'est pas bon.
Ensuite: deuxième et dernier points de discorde: d'où viens cette égalité:1/2 mv² = mg.R(1-cos(theta))
Energie cinétique=Energie potentielle
La conservation de l'énergie mécanique dit qu'en présence uniquement de forces conservatives, la variation d'énergie mécanique est nulle.
Sinon, je suis d'accord avec vous pour le reste.
Bonjour,
Je confirme ce que j'ai écrit.
Au point initial : Vo = 0 et H = R (référence des altitudes sur axe du cylindre)
l'énergie mécanique est donc : 1/2.mVo² + mgH = 0 + mgR = mgR
Lorsque le mobile a tourné d'un angle theta, il se trouve à l'altitude R.cos(theta), son énergie potentielle est donc mg.R.cos(theta)
Par conservation de l'énergie mécanique, on a donc (avec V la vitesse au point à l'angle theta) : 1/2.m.V² + mg.R.cos(theta) = mgR
1/2.m.V² = mgR - mg.R.cos(theta)
1/2.m.V² = mgR(1 - cos(theta))
-------------
Remarque, le résultat ne dépend pas de la référence prise pour les altitudes ...
Je recommence en prenant le point bas du cylindre comme référence des altitudes ...
Au point initial : Vo = 0 et H = 2R
l'énergie mécanique est donc : 1/2.mVo² + mgH = 0 + mg2R = 2mgR
Lorsque le mobile a tourné d'un angle theta, il se trouve à l'altitude R.(1+cos(theta)), son énergie potentielle est donc mg.R.(1+cos(theta))
Par conservation de l'énergie mécanique, on a donc (avec V la vitesse au point à l'angle theta) : 1/2.m.V² + mg.R.(1+cos(theta)) = 2mgR
1/2.m.V² + mg.R.(1+cos(theta)) = 2mgR
1/2.m.V² = 2mgR - mg.R.(1+cos(theta))
1/2 m.V² = mgR.(1-cos(theta))
Même résultat ... encore heureux.
OK ?
non, tout est juste.Bon, je ne suis pas d'accord avec vous. Vous dites:
Donc pour vous;
Energie cinétique= 1/2mV²
Energie potentielle=mg.R(1-cos(theta))
Pour moi, Energie potentielle=mg.R(1+cos(theta)) car pour
Avec votre expression, elle est nulle donc ce n'est pas bon.
Ensuite: deuxième et dernier points de discorde: d'où viens cette égalité:1/2 mv² = mg.R(1-cos(theta))
Energie cinétique=Energie potentielle
La conservation de l'énergie mécanique dit qu'en présence uniquement de forces conservatives, la variation d'énergie mécanique est nulle.
Sinon, je suis d'accord avec vous pour le reste.
ce qui est appliqué est:
Ep+Ec=Cte. ( Energie potentielle+Energie Cinétique )
Voir ici une autre présentation (*)
http://www.les-mathematiques.net/pho...598228,1599102
(*) et je trouve que Black Jack est même plus didactique ici ( pour la partie avec roulement )
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
C'est bon, j'ai compris grâce à votre calcul détaillé.
Je pensais au début qu'il fallait résoudre l'équation différentielle en
Mais vous avez trouvé un autre chemin pour arriver au résultat sans se taper la résolution de l'équation différentielle.
Bien joué!!
Dernière modification par gloups13 ; 28/12/2019 à 11h31.
