Séries de Fourier

[ArnoGreg]

Bonjour,

je travaille cette notion en faisant l'exercice suivant.

On fixe . On définit une fonction sur de la façon suivante :
pour , on pose et on étend à en une fonction -périodique.
(a) Déterminer les coefficients de Fourier de .
(b) Préciser le domaine de convergence de la série de Fourier de .
(c) La série de Fourier de converge-t-elle en tout point vers la fonction ?

Il est fait le rappel suivant :

(a) J'ai fait le calcul et je trouve

(b) Je voudrais utiliser le théorème de Dirichlet sous les conditions suivantes :

(1) est une fonction -périodique --> C'est le cas d'après l'énoncé sur car il est dit qu'on l'étend comme tel entier.

(2) est continue sur --> Par continuité de la fonction exponentielle (est-ce que cela suffit ?)

(3) est de classe sur --> Car la fonction exponentielle l'est (est-ce que cela suffit ?)

Donc le théorème de convergence normale s'applique sur tout entier.

(c) Et c'est là que je bloque, car je dirais sur tout entier d'après la question précédente, mais cela me semble faux.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
-----

[gg0]

Bonjour.

As-tu représenté ta fonction, tracé sa courbe ? Manifestement non, sinon tu ne la qualifierait pas de continue.

Cordialement.

NB : Toujours bien comprendre quels sont les objets qu'on manipule.

[ArnoGreg]

Bonjour,

je n'avais pas tracé la fonction effectivement.
Voilà pour , :



Mais que faire lorsque , et ?
Par exemple comment tracer ?

[gg0]

Tu devrais connaître comment s'exprime une exponentielle complexe. Effectivement, quand t n'est pas réel, la représentation devient délicate, mais déjà avec t réel tu peux voir ce qui se passe. Ensuite, pour t complexe non réel, tu pourras voir par le calcul si c'est la même chose (ça revient à traiter des limites de complexes, tu connais, non ?).

Remarque : tu devrais éviter les sinus hyperboliques de complexes, à moins que tu en aies une bonne habitude.
Une autre remarque : Il peut être intéressant de vois ce qui se passe pour les valeurs exclues de t. Attention, reprendre du début le calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArnoGreg]

Ok.
Voilà ce que j'obtiens pour :

Pour :
On a :
Ainsi : et .
Et donc il faudrait étudier les limites des parties réelles et imaginaires.
Quand je trace ces deux fonctions, elles sembles exister :
1577787180-capture-d-ecran-2019-12-31-a-11-12-34.png
1577787180-capture-d-ecran-2019-12-31-a-11-12-42.png

Pour :
On a :
Ainsi : et n'ont pas de limite en l'infini.

Testons pour t=i et :
.

[gg0]

Euh ... ce qui se passe à l'infini pour des fonctions périodiques est-il pertinent ?

Bon, il serait temps de revenir au sujet : Ta fonction est-elle vraiment continue sur R ?
Rappel : une fonction complexe est continue si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont.

NB : Je n'ai pas vu tes pièces jointes.

[ArnoGreg]

En écrivant , je trouve et .

L'énoncé fixe les conditions :

ou

Les fonctions et sont continues comme produit de fonctions continues.

En , je ne vois pas de problème non plus.

Donc sur l'intervalle je dirais que les parties réelles et imaginaires sont bien continues.

[gg0]

Comme tu sembles ne pas comprendre ton énoncé, je te propose de ne considérer que la fonction réelle définie pour t réel non nul. Et de la représenter (si tu ne vois pas la courbe dans le cas général, prends, puis ). Pour l'instant, tu ne travailles pas encore avec .

[ArnoGreg]

D'accord.

Voici les graphiques de ces deux fonctions :
1577796472-capture-d-ecran-2019-12-31-a-13-47-04.png
1577796472-capture-d-ecran-2019-12-31-a-13-47-30.png

L'une est croissante, l'autre est décroissante.
Les deux sont continues.

[gg0]

Inutile de continuer à perdre ton temps sans connaître l'énoncé. Commence par le lire !

La deuxième ligne de celui que tu as donné au message #1 donne une définition précise, que tu t'obstines à ne pas respecter. Lis tous les mots, et fais ce qui est dit (déjà au brouillon, à la main)

J'espère que tes idées seront plus claires en 2020. Bonne année !

[ArnoGreg]

Je vois.

Avec :
1577957801-capture-d-ecran-2020-01-02-a-10-35-56.jpg.

Avec :
1577957932-capture-d-ecran-2020-01-02-a-10-38-30.jpg

Prenons la fonction que l'on étend en une fonction -périodique à .


Soit .

La fonction est définie et continue sur .

Regardons ce qu'il se passe en .

Lorsque tend : on a tend vers .

Lorsque tend :

Si on a .

Si on a puisque f est -périodique.

Et donc lorsque tend : on a tend vers .

D'où .

Ce qui donne la continuité sur et sur .

Merci de votre soutien !
Une excellente année à vous aussi !

[gg0]

Et tu continues à écrire n'importe quoi ! Mon "soutien" ne sert pas à grand chose si tu continues ainsi ..

Tu as regardé les courbes ? Tu crois vraiment que ce sont des courbes de fonctions continues ?

Tu crois vraiment que "Si " on a . ?????

A ce niveau d'indigence intellectuelle, inutile que je continue. Quand tu auras décidé de regarder vraiment ce qui se passe, et d'agir intelligemment, fais ton exercice, je t'ai assez alerté sur les problèmes pour que tu puisses trouver par toi-même les réponses correctes.

[ArnoGreg]

Une fonction périodique de période est dite de classe par morceaux, pour un entier naturel , si sa restriction est de classe par morceaux, c’est-à-dire s’il existe une subdivision de telle que la restriction de à chacun des intervalles ouverts (pour ) admette un prolongement de classe .

On notera :
• l’espace vectoriel des fonctions -périodiques de classe

• l’espace vectoriel des fonctions -périodiques de classe par morceaux.

Je pense que .
C'est une fonction -périodique de classe par morceaux.

[ArnoGreg]

Le théorème de Dirichlet s'applique puisque est une fonction de dans , de classe par morceaux comme expliqué dans mon message précédent. Donc la série de Fourier de f converge simplement sur .

Ceci permet de répondre à la question 2.

[gg0]

Et aussi à la suivante ...

[ArnoGreg]

Merci beaucoup.