Comment résoudre une équation de cette forme ?

[Komana]

Bonjour,

Je cherche à résoudre cette équation :

Avec B une constante réelle, et theta compris entre 0 et 2Pi.

J'ai entendu parler de la méthode de Newton, mais est-ce qu'il n'existe pas une méthode plus simple à mettre en oeuvre?
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[gg0]

Bonjour.

On peut supposer que B n'est pas l'inconnue ?
Puisque tu parles de méthode de Newton (calcul approché avec des valerus toutes cpnnues), voilà ce qu'on fait pour une valeur connue de B :
Une fois éliminées les valeurs de , on peut réécrire l'équation sous la forme

Il n'existe pas de calcul algébrique permettant de résoudre cette équation, on va donc se contenter
1) de déterminer combien elle a de solutions (par exemple par une étude de la fonction du premier membre)
2) s'il y en a, de les encadrer ou les approximer, en fonction des besoins. par la méthode de Newton si on a besoin d'un résultat rapide, ou par dichotomie, voire même, si on n'a pas besoin d'une grande précision, par tracé graphique.
Par exemple, pour B=6, on trouve trois valeurs, aux environs de 2,8, 4 et 5.

Et si on veut savoir ce qui se passe pour de nombreuses valeurs de B, on laissera l'équation sous la forme initiale et on se servira de l'étude de f pour conclure sur le nombre de solutions et les intervalles où elles sont.

Cordialement.

[Resartus]

EDIT je vois que gg0 a déjà répondu...
Bonjour,
On ne peut résoudre cette équation que de manière numérique...

La méthode de newton est à la fois assez simple à réaliser et converge assez vite, et le nombre d'itérations pour arriver à un nombre de décimales donné sera assez faible.
Mais vous pouvez la résoudre de la manière qui vous parait la plus simple et compréhensible pour vous : y compris par approximations successives sur une calculette (on essaye 0,1 puis 0,2, puis 0,15, 0175, etc. Mais c'est évidemment un peu long si vous voulez beaucoup de décimales

Mais il me semble que ces questions de rapidité sont un peu théoriques de nos jours, à moins que vous n'ayez à écrire un programme de calcul vous même,
car dans 99% des cas, on fait cela sur le solveur de son tableur ou de son logiciel de calcul formel, qui va choisir l'algorithme quivabien (peut-être newton, peut-être pas) et vous donner directement la réponse...

[Komana]

Merci pour ces réponses. Effectivement B est connue et theta est l'inconnue.

J'ai besoin de tracer un diagramme d'une énergie en fonction de theta, avec theta variant de 0 à 180° par pas de 0.01°... Ca fait beaucoup d'équations à résoudre.
Est-ce que sous Matlab il existe une fonction toute prête capable de résoudre numériquement l'équation?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu .... C'est thêta qui varie ? Donc ce n'est pas une inconnue ! Et B est l'énergie ? Il n'y a plus d'équation à résoudre, c'est une bête fonction à représenter.

[Komana]

Par ailleurs, est-ce que ce type d'équation a un nom particulier? (type polynomiale...)

[Komana]

Heu .... C'est thêta qui varie ? Donc ce n'est pas une inconnue ! Et B est l'énergie ? Il n'y a plus d'équation à résoudre, c'est une bête fonction à représenter.

Je me suis mal exprimé. En faite, c'est B qui varie. Puis je calcule une valeur de Theta en fonction de B. A partir du couple Theta/B je calcul une énergie, que je représente en fonction de Theta.

[gg0]

OK.

Il y a quand même un problème mathématique (*) : Dès que B vaut environ 4,5, il y a 3 valeurs de thêta.
Mais pour B compris entre 0 et cette valeur, il y a une seule valeur de thêta qu'on peut obtenir, pour diverses valeurs de B, par un programme très classique.

Cordialement.

(*) et aussi un problème physique, l'équation n'est pas homogène en unités, on divise une mesure angulaire par un nombre et on soustrait un nombre. Mais ça, c'est ton problème.

[gg0]

Pas de nom particulier pour cette équation, comme pour la plupart des équations non-élémentaires.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Il n'y a pas de problème de dimension en physique avec l'équation.

Un angle a une unité (radian (SI), degré, grade ...) ... mais pas de dimension.
sin() et cos() sont sans dimension

Voir ici : https://media4.obspm.fr/public/AAM/p...s/mpa-dim.html