Bonsoir,
J'aurais besoin d'une précision sur la notion d'epaces vectoriels isomorphes (par exemple E et F), est ce que cela signifie qu'il existe une application linéaire bijective de E dans F seulement ou bien une application bijective de E dans F et dont la reciproque est également bijective de F dans E ?
Merci d'avance
Bonsoir.
Si f est une bijection de E sur F, alors sa réciproque est aussi une bijection. Démontre-le, c'est très facile.
Ce qui est moins évident est que si f est linéaire, alors sa réciproque l'est aussi. Saurais-tu le démontrer ?
Donc finalement, pour que E et F, espaces vectoriels sur le même corps, soient isomorphes, il suffit qu'il y ait une application linéaire bijective de E sur F (appelée un isomorphisme).
Cordialement.
NB : Si tu fais des études supérieures en maths, faire les deux démonstrations toi-même est essentiel; tu auras besoin de savoir trouver ce genre de preuves basées sur les définitions.
Justement j'avais l'impression que si f est une bijection de E sur F, sa réciproque n'est pas forcément une bijection, d'où ma question.
Parce que si on prend par exemple une application g bijective de E dans E , et qu'on prend la meme application g de F dans E (avec E inclus dans F), alors elle est toujours bijective puisque chaque élément de E a bien un antecedent, mais sa réciproque ne l'est pas.
Qu'est ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?
Merci
si F est strictement inclus dans E et si g est une bijection de E alors sa restriction à F n'est pas une bijection de F sur E.
Une bijection c'est "tout élément de l'image a un unique antécédent par f". Il faut qu'il existe ( f est surjective) et qu'il n'y en ai pas plus d'un (f est injective)
Tout élément de l'ensemble d'arrivée, sinon la surjectivité est ignorée.Envoyé par Tryss2
Yopppp,
tu devrais revoir de près la définition d'un bijection. Qui est définie avec un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée (d'où mon expression "une bijection de E sur F"). Et faire attention à ce que tu écris : "si on prend par exemple une application g bijective de E dans E , et qu'on prend la même application g de F dans E" !! La même, ça ne veut rein dire, surtout si F est un sur-ensemble de E : g n'y est pas définie !!! Et si F est un sous-ensemble de E, g n'est plus bijective ...
A_u lieu de résister à l'aide d'idées mal digérées, revois la notion de bijection (dans un cadre général) et vois pourquoi dire que f est une bijection de E sur F dit automatiquement que f a une réciproque et que cette réciproque est une bijection de F sur E (tout est dans les définitions de bijection et de réciproque). Tu peux aussi lire un cours sur le sujet. Tout ça est vrai dans n'importe quel cadre, pas besoin d'espaces vectoriels ici.
Cordialement.
