[AL L1] Espaces vectoriels isomorphes

[invite811963fc]

Bonjour à tous,

j'ai un problème avec un énoncé d'algèbre linéaire, et, mon cours et cet exo étant en allemand, je rame un peu
(Attention, c'est un problème d'explication plutôt globale, pas tant l'exo en lui même)

Soit M un ensemble et P(M) l'ensemble des sous-ensembles (die Potenzmenge) de M. On définie une
opération binéaire delta sur P(M) de la sorte :

A delta B = (A \ B) U (B \ A) A, B <= M
Ensuite définissons nous la multiplication scalaire (Z/2Z) sur P(M) telle que
_
0 · A := null
et _
1 · A := A pour tout A dans M


On demande de montrer que P(M) avec delta comme addition fait un espace vectoriel sur Z/2Z
(ça j'ai fait)

Par contre, on me demande de prouver que cet espace vectoriel est isomorphe à F(M, Z/2Z) (dans l'exo précédant, on nous dit que F(M, K) est l'espace vectoriel de toutes les fonctions f : M -> K avec addition et produit scalaire).

Mais je comprends pas comment on peut avoir ici une fonction comme variable d'une fonction (vocabulaire du type avec option info spotted ). Quelqu'un peut m'éclairer?


Merci d'avance
-----

[invite57a1e779]

Un élément de F(M, Z/2Z) est la fonction caractéristique d'un sous-ensemble de M.

D'autre part, la dérivation (D : f ---> f') est bien une fonction qui a pour variable une fonction ; et j'espère que cela ne t'a pas trop gêné jusqu'ici.

[Médiat]

Une autre façon de voir les choses est de noter qu'une fonction n'est qu'un ensemble (sous ensemble d'un produit cartésien) "comme les autres".

[invite811963fc]

Un élément de F(M, Z/2Z) est la fonction caractéristique d'un sous-ensemble de M.

J'ai trouvé ça, mais j'avais jamais ça sous cette forme.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...%27un_ensemble

Par contre, F(M, Z,2Z) c'est : M -> Z,2Z, mais
pour l'espace vectoriel, je comprends pas, on n'a pas Z, 2Z -> M
(j'ai oublié de préciser que je suis largué ce matin, désolé)

D'autre part, la dérivation (D : f ---> f') est bien une fonction qui a pour variable une fonction ; et j'espère que cela ne t'a pas trop gêné jusqu'ici.

Effectivement, j'y avais pas pensé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite811963fc]

Une autre façon de voir les choses est de noter qu'une fonction n'est qu'un ensemble (sous ensemble d'un produit cartésien) "comme les autres".

Ouais, mais ça fait bizarre de voir un ensemble de fonctions sans variable (je me souviens plus du nom de x en français). Mais je vois ce que tu veux dire (on a l'ensemble de départ)

[Médiat]

Mais je vois ce que tu veux dire (on a l'ensemble de départ)

Aïe : pas du tout (je croyais éclairer les choses, j'ai l'impression de les avoir troublées, désolé).
Si f est une fonction de E dans F, alors f est un sous-ensemble de ExF.

[invite811963fc]

Aïe : pas du tout (je croyais éclairer les choses, j'ai l'impression de les avoir troublées, désolé).
Si f est une fonction de E dans F, alors f est un sous-ensemble de ExF.

Tu veux dire que f = im(f(E))? C'est ce que je voulais dire dans mon post (j'ai pas l'habitude de parler maths en français + deux heures de sommeil cette nuit, alors je suis un peu )

[invite57a1e779]

Pour revenir à ton problème.

Tu définis une application de dans par



où on note traditionnellement la fonction caractéristique du sous-ensemble de .

Tu dois montrer que c'est un isomorphisme de -espaces vectoriels, c'est-à-dire :

– est bijective ;

– pour tout et tout , sous-ensembles de , ;

– pour tout sous-ensemble de , et .

[invitebe0cd90e]

Im(f(E)) ca ne veut pas dire grand chose Ce que veux dire Mediat, c'est que tu peux voir une fonction comme un ensemble de couples (x,f(x)), est donc une fonction est un sous ensemble de ExF qui verifie certaines conditions.

[invite811963fc]

Merci à tous, j'ai enfin rendu mon DM!
(un peu baclé, mais avec ma moyenne je peux me le permettre)

Du coup je vois un peu plus clairement de quoi il en retourne (enfin, mon cours restera toujours en allemand :$).

Bon week-end à vous, je rendre chez moi dormir un petit coup!