Groupes isomorphes

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Ma question est la suivante :

Soient G1 et G2 deux groupes finis.

Je cherche à montrer que G1 et G2 sont isomorphes (donc qu'il existe un homomorphisme bijectif entre les deux).

Je voudrai savoir si il existe une méthode "générale" pour répondre à cette question ?

Je pensais écrire les tableau de Cayley, et voir si le tableau de G1 est identique au tableau de G2.
Mais le problème avec cette méthode c'est que selon l'ordre des éléments que je met pour construire mon tableau, celui de G1 et de G2 peuvent ne pas être identiques alors que les groupes sont bel et bien isomorphes.

Je voudrai donc savoir si il existe une méthode pour répondre de manière générale à cette question ou bien si c'est des astuces au cas par cas ?

Je sais qu'on pourrait chercher quel ordonnancement des éléments du tableau de Cayley de G1 permet de trouver le même tableau que celui de G2 mais ça peut être galère à voir dans certains cas...

Merci !
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[invite9dc7b526]

Ce que tu appelles tableau de Cayley c'est la table de multiplication du groupe?

C'est un problème difficile. Il y a un petit livre pas mal qui traite de ce sujet: Magnus "combinatorial theory of groups".

[invite8f6d0dd4]

Merci de la réponse.

Oui c'est bien cela, je parle de la table de multiplication.

Je vais regarder ta référence, mais si je comprends bien il n'y a pas de recette générale, c'est grosso modo du cas par cas ?

Merci !

[Médiat]

Bonjour,

Avant de se lancer dans la recherche d'isomorphisme, il est possible de vérifier certaines conditions nécessaires :
1) Même cardinal (vous y avez pensé j'imagine)
2) Tous les 2 commutatifs ou tous les 2 non commutatifs (vous y avez pensé j'imagine)
3) Même nombre d'éléments de même ordre dans les 2
4) Mêmes automorphismes (pas forcément facile )
5) ...

Votre question est-elle pratique (à propos de groupes particuliers), ou générale ?

[A voir en vidéo sur Futura]