Changement de variable sur couple de variables aléatoires
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Changement de variable sur couple de variables aléatoires



  1. #1
    JulesMhz

    Changement de variable sur couple de variables aléatoires


    ------

    Bonjour,

    J'ai un doute sur la compréhension d'une question d'un de mes devoirs, voici l'énoncé :

    Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes, centrées et réduites :

    p(x) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-x²/2) et p(y) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-y²/2)

    La première question est : Montrer que la loi conjointe du couple de variable (X,Y) est p(x,y)=(1/2.PI)*e(-(x²+y²)/2), jusqu'ici pas de soucis.

    Puis, on me demande :
    On effectue le changement de variable suivant (passage d’un système de coordonnées
    cartésiennes à polaires):
    R = sqrt(x²+y²) définie sur 0,+infini
    Phi = arctg(y/x) si x>0 et arctg(y/x)+ Pi si x<0
    Calculer la loi associée au couple de variable (R,Phi) notée q(r,Phi)

    Pour ce faire, je suppose que le changement de variable passe par le Jacobien, qui donnerait quelque chose comme :

    p(x,y)*|J((x,y)/(u,v))|

    Je pose donc
    x=sqrt(u²+v²) et y = arctg(v/u)

    Et je calcule le Jacobien qui me donne :
    -1/(2*PI*sqrt(u²+v²))
    Est-ce correct ?

    Finalement pour trouver la réponse à la question je multiplie ce résultat par le résultat de la réponse précédente, est-ce toujours correct ?

    Par avance merci.

    -----

  2. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Changement de variable sur couple de variables aléatoires

    Bjr,
    je ne comprend pas du tout ta démarche.
    on pose :
    R = sqrt(x²+y²) définie sur 0,+infini
    Phi = arctg(y/x) si x>0 et arctg(y/x)+ Pi si x<0
    et on cherche q(R,phi) correspondant à p(x,y)

    alors pourquoi poser ensuite
    x=sqrt(u,v) ?
    et que vient faire le jacobien ?

    ici , on voit directement que p(x,y) =(1/2.PI)*e(-(r²)/2).

    ps; si j'ai bien saisi l'exercice....
    Dernière modification par ansset ; 21/02/2020 à 15h04.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  3. #3
    JulesMhz

    Re : Changement de variable sur couple de variables aléatoires

    Bonjour,

    Merci pour ta réponse.

    En fait j'ai simplement suivi mon cours dans lequel un truc équivalent est fait. Je pensais que le Jacobien était nécessaire pour le passage d’un système de coordonnées cartésiennes à polaires. Mais j'avoue que je ne sait pas trop quelle méthodologie est la bonne...

  4. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Changement de variable sur couple de variables aléatoires

    re-
    quel "truc" équivalent ?
    pour essayer d'y voir plus clair.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Changement de variable sur couple de variables aléatoires

    Ansset,

    le problème est "Calculer la loi associée au couple de variable (R,Phi) notée q(r,Phi)", pas de calculer la densité en x et y.

    Cordialement.

  7. #6
    JulesMhz

    Re : Changement de variable sur couple de variables aléatoires

    Je mets en pièce jointe la partie dont je parlait où quelque chose de similaire est fait, d'ailleurs, ne manque t il pas un "-" sur le résultat du Jacobien, soit -1/(2*PI*y) ?

    Merci !Nom : temp.png
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