Bonjour,
J'ai un doute sur la compréhension d'une question d'un de mes devoirs, voici l'énoncé :
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes, centrées et réduites :
p(x) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-x²/2) et p(y) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-y²/2)
La première question est : Montrer que la loi conjointe du couple de variable (X,Y) est p(x,y)=(1/2.PI)*e(-(x²+y²)/2), jusqu'ici pas de soucis.
Puis, on me demande :
On effectue le changement de variable suivant (passage d’un système de coordonnées
cartésiennes à polaires):
R = sqrt(x²+y²) définie sur 0,+infini
Phi = arctg(y/x) si x>0 et arctg(y/x)+ Pi si x<0
Calculer la loi associée au couple de variable (R,Phi) notée q(r,Phi)
Pour ce faire, je suppose que le changement de variable passe par le Jacobien, qui donnerait quelque chose comme :
p(x,y)*|J((x,y)/(u,v))|
Je pose donc
x=sqrt(u²+v²) et y = arctg(v/u)
Et je calcule le Jacobien qui me donne :
-1/(2*PI*sqrt(u²+v²))
Est-ce correct ?
Finalement pour trouver la réponse à la question je multiplie ce résultat par le résultat de la réponse précédente, est-ce toujours correct ?
Par avance merci.
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