Equation différentielle impliquant une série

[Konijn]

Soit , une fonction de classe

Mon objectif ici est de trouver l'ensemble des fonctions satisfaisant l'équation différentielle suivante:



Lorsque la série converge uniformément, la solution est triviale:





Et donc:



Problème: je n'arrive pas à traiter cette équation différentielle sans supposer que la série converge uniformément. Par conséquent, il se peut que d'autres solutions m'échappent!
Des idées pour y arriver? Merci d'avance!

P.S.: Dans la même veine, on pourrait tenter d'imaginer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle suivante:



(Où g est une fonction fixée à l'avance)
Si on suppose la convergence uniforme de la série, on arrive à par dérivation des deux parts de l'égalité et une substitution, mais je doute de la fiabilité de cette méthode, qui ne semble pas fonctionner si on prend, par exemple,

Pardonnez moi si j'ai fait des bêtises dans la mise en forme de ce post, il s'agit de ma première contribution. J'éditerais au besoin!
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[JPL]

Rappel de la charte du forum :

La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[Konijn]

Pardon, bonjour à tous!
J'en profite pour corriger une coquille: pour la deuxième équation, on arrive plutôt à

[raymolk]

Problème: je n'arrive pas à traiter cette équation différentielle sans supposer que la série converge uniformément. Par conséquent, il se peut que d'autres solutions m'échappent!
Des idées pour y arriver? Merci d'avance!

Voici un article où on trouve un théorème traitant ce problème, p. 9 : https://projecteuclid.org/download/p...ams/1183498781
Les hypothèses faites sur la convergence de la série sont plus faibles que la convergence uniforme, et permettent de conclure que la solution est bien f = 0 dans ce cas.
En effet, en prenant les notations du papier cité, on a pour z<1, qui ne s'annule pas dans ce domaine de convergence.
Donc le polynôme P du papier est identiquement égal à 1, P_n-1 est identiquement nul, le second membre aussi, et donc la solution est identiquement nulle.

Si on suppose la convergence uniforme de la série, on arrive à par dérivation des deux parts de l'égalité et une substitution, mais je doute de la fiabilité de cette méthode, qui ne semble pas fonctionner si on prend, par exemple,

Si on suppose cette convergence uniforme, alors on arrive en effet à f = g - g'.
Le problème est : quand cette supposition est-elle légitime ? En l'absence d'un résultat donnant la convergence de la série en fonction d'hypothèses sur g, on ne sait pas.
Ça, le papier ne le dit pas. En revanche, il semble que l'on puisse prendre g = sin au moins sur un certain intervalle permettant de satisfaire les hypothèses de majoration, et avoir alors une solution donnée par une formule probablement difficile à expliciter plus avant…

[A voir en vidéo sur Futura]