Couple de variables aléatoires

[invite767e7b2a]

Bonjour à tous,

Une agence de location de voitures dispose pour ses clients de voitures classées en 3 catégories. On suppose que 3 clients se présentent à cette agence pour louer chacun d'eux une voiture. Ces 3 clients choisissent de manière équiprobable la catégorie de la voiture qu'ils vont louer et le choix de chacun de ces 3 clients est indépendant du choix des autres.
Dans chaque catégorie il y a trois voitures à louer.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de voitures louées dans la catégorie 1 et Y la variable égale au nombre de catégories de voitures non louées.
Il me faut trouver la loi conjointe de (X;Y).

Mon problème est que je ne sais pas du tout comment modéliser la situation.

Merci de votre aide.
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[invite767e7b2a]

je trouve X(Ὠ)=[[0;3]] et Y(Ὠ)=[[0;2]] mais reste le problème de la modélisation

[invite57a1e779]

je trouve X(?)=[[0;3]] et Y(?)=[[0;2]] mais reste le problème de la modélisation

Je dirai plutôt que Y prend ses valeurs dans [[1,3]].
Pour déterminer la loi conjointe, je ne vois pas d'autre méthode que de calculer séparément chaque valeur P(X=i,Y=j).

[invite767e7b2a]

attention, Y ne désigne pas le nombre de catégories de voitures louées mais le nombre de catégories de voitures NON louées; mais je ne vois justement pas quelle modélisation utiliser pour calculer séparément chaque valeur P(X=i,Y=j).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

attention, Y ne désigne pas le nombre de catégories de voitures louées mais le nombre de catégories de voitures NON louées

Au temps pour moi!

Par exemple :
Si Y=0, des voitures ont été louées dans toutes les catégories, donc il a été louée une voiture et une seule par catégorie.
Par suite on a P(X=0,Y=0)=P(X=2,Y=0)=P(X=3,Y= 0) = 0.

[invite767e7b2a]

Pour les cas simples, il est assez facile de se représenter la situation (cela me conforte, j'ai du trouver les mêmes résultats) mais pour les cas plus compliqués (P(X=1;Y=2)), y at-il une technique? (personellement, j'ai du mal dans ce cas à me représenter la situation)

[invite57a1e779]

Pour les cas simples, il est assez facile de se représenter la situation (cela me conforte, j'ai du trouver les mêmes résultats) mais pour les cas plus compliqués (P(X=1;Y=2)), y at-il une technique? (personellement, j'ai du mal dans ce cas à me représenter la situation)

Si Y=2, c'est que les voitures ont été louées dans une seule catégorie :
– dans cette catégorie, on a loué trois voitures ;
– dans les deux autres catégories, on n'a loué aucune voiture.
Dans la catégorie 1 , on ne peut avoir loué 1 voiture, ou 2 voitures, donc
P(X=1;Y=2) = P(X=2;Y=2) = 0.

[invite767e7b2a]

je trouve ensuite p(X=1;Y=0)=3!*1/27 --->on associe chaque client à une catégorie de voitures: il y a 3! façons de permuter les clients par rapport aux catégories de voitures Y a t-il une erreur?

[invite767e7b2a]

j'ai finalement réussi à me dépatouiller et à trouver des résultats à peu près cohérents; merci tout de même God's Breath