Probabilité dans plusieurs espaces probabilisés

[KFSHU]

Bonjour,

le petit problème qui va suivre n'est pas l'objet de la discussion mais il va me permettre de soulever une question.
Voici ce problème:

On considère un QCM constitué de 3 questions ayant 4 réponses possibles chacune (une seule est correcte). Un étudiant répond au hasard aux 3 questions. On note N le nombre de réponses exactes. Quelle est la probabilité qu’il ait exactement 2 réponses exactes ?

L’utilisation d’une loi binomiale donne directement le résultat mais si on essaye de le faire «à la main», en introduisant l’univers où par exemple l’élément désigne le fait qu’il a juste à la première question et faux aux deux autres. Cette univers étant fini, on le muni de la tribu et d’une probabilité .

On introduit l’événement pour entre et , l’étudiant répond juste à la -ème question. Les trois événements sont indépendants.

On alors et .

Dans l’espace probabilisé , , la probabilité de et la probabilité de ne sont intuitivement pas les mêmes, il semble difficile de répondre de calculer dans cette espace.

Il est intuitif que car à la question 1, on a 1 chance sur 4 de choisir la bonne réponse. Mais voilà en menant ce petit raisonnement on s’est placé dans un autre espace probabilisable muni de la probabilité uniforme. Voici donc ma question: est-il rigoureux de faire cela ? (c'est-à-dire de mener un raisonnement et des calcules dans un espace différent) Ce raisonnement donnant le même résultat que la loi binomiale, il est certainement exacte, la question est alors pourquoi est-il possible de le faire ?


Je parle plusieurs fois d'intuition, j'espère toute fois avoir été assez claire et que la question soulevée le soit également.
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[gg0]

Bonjour.

Comme souvent, il y a plusieurs modélisations possibles face à une épreuve probabiliste données sous forme concrète. Tu peux donc effectivement utiliser ton , ou, pour bien représenter les quatre réponses possibles à chaque question, , comme tu le dis à la fin. Mais justement, si tu dois changer d'univers pour calculer pa probabilité des événements qui t'intéressent, c'est que tu avais mal choisi l'univers au départ.

Donc oui, on peut changer, et même plus, on doit changer si l'univers choisi ne convient pas !

Cordialement.

[KFSHU]

Merci pour votre réponse.
Je comprend tout à fait qu’il faut changer d’univers pour trouver la modélisation qui permette les calculs les plus simples mais ici en passant de à (pas le produit cartésien), on ne modélise plus la même expérience dans le cas de on modélise la réponse au QCM dans son ensemble c’est-à-dire la réponse aux 3 questions alors que dans le cas de on modélise seulement la réponse à la première question. On a donc deux univers différents qui modélisent deux expériences différentes (bien qu’elles soient liées). L’événement qui en français est «il répond juste à la première question», dans un cas on trouve facilement la probabilité de cette événement mais je ne vois ce qui me permet de dire que ce résultat trouvé dans l’univers est encore valable dans .

[gg0]

Il faut savoir ... soit tu modélise la même expérience, et l'univers n'a pas d'importance; soit ce n'est pas la même expérience, et l'un des deux ne sert à rien.

En fait, tu as montré toi même que pour calculer les probas dans l'un, tu dois utiliser l'autre (qui donne directement le résultat). A quoi sert l'un ?

Mais ici, "l'un" est un sous ensemble d'événements de "l'autre", qui est seulement caché par le codage que tu as choisi. Et c'est cela qui fait que les résultats de "l'autre" peuvent être utilisés pour définir les probas sur "l'un".

Cordialement.

NB : En pratique, on ne perd pas de temps à jouer avec cela, on prend directement un modèle probabiliste convenable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Dans l’espace probabilisé , , la probabilité de et la probabilité de ne sont intuitivement pas les mêmes, il semble difficile de répondre de calculer dans cette espace.

je ne vois pas ce que ça a de difficile. P(A1)=1/4 * 3/4 * 3/4 + 1/4 * 1/4 * 3/4 + 1/4 * 1/4 * 1/4 + 1/4 * 3/4 * 1/4