décomposition de dunford et espaces caractéristiques.

[maatty]

Bonsoir à tous,
j'ai une question concernant la décomposition de Dunford. Lorsqu'on réduit une matrice selon les sous-espaces caractéristiques, on obtient une matrice triangulaire. Ma question est la suivante:
a-t-on alors automatiquement en décomposant cette matrice en somme d'une matrice diagonale et d'une matrice triangulaire à diagonale nulle, la décomposition de Dunford?
Soit encore, est-on sûr que la matrice diagonale et la matrice triangulaire commutent?
Je vous remercie pour vos éclaircissements
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[sylvainc2]

Quand on ne peut pas diagonaliser A car il n'y a pas une base de vecteurs propres on peut quand même jordaniser (dans R si les valeurs propres sont réelles): A = PJP^-1

J est la forme de Jordan, elle peut toujours être décomposée en la somme d + n où d est diagonale et n nilpotente et d et n commutent toujours. La raison est que J est formée de blocs de Jordan sur sa diagonale, et chaque bloc peut-être décomposé comme kI + m où k est la valeur propre du bloc et m est nilpotente, et évidemment kI commute avec toutes les matrices.

Donc on a A = P(d+n)P^-1 = PdP^-1 + PnP^-1 = D + N. D est diagonalisable car elle est semblable à d qui est diagonale, N est nilpotente car semblable à n qui l'est, et D et N commutent puisque d et n commutent. C'est la décomposition de Dunford de A, qui est unique pour une matrice A donnée.

Je sais pas si ca répond à ta question....

[maatty]

En partie il me semble.
Mais du coup il faut "aller jusqu'à" Jordan. On ne peut pas juste réduire selon les espaces caractéristiques pour obtenir une matrice triangulaire quelconque?

[0577]

Bonjour,

Ma question est la suivante:
a-t-on alors automatiquement en décomposant cette matrice en somme d'une matrice diagonale et d'une matrice triangulaire à diagonale nulle, la décomposition de Dunford?

Non.

Par exemple, si les éléments diagonaux sont distincts, alors la matrice est diagonalisable et la décomposition de Dunford d'une matrice diagonalisable A est A=D+N avec D=A et N=0.

Soit encore, est-on sûr que la matrice diagonale et la matrice triangulaire commutent?

Non.

Je vous encourage à faire l'exercice suivant: déterminer toutes les matrices qui commutent avec une matrice diagonale donnée.

Par exemple, la seule matrice triangulaire stricte qui commute avec une matrice diagonale avec éléments diagonaux distincts est la matrice nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]