Décomposition de Dunford et Réduction de Jordan

[invitea75ee6d0]

Bonjour, actuellement élève en prépa, j'ai un projet consistant à créer un cours sur la réduction de Jordan... (Nous avons déjà travaillé sur la théorie de la diagonalisation des matrices)
Pendant nos recherches, nous avons trouvé deux théorèmes qui semblent liés mains nous avons du mal à voir les liens entre eux:

• Le premier correspond à la décomposition de Dunford qui nous dit qu'un endomorphisme peut être vu comme la somme d'un endo nilpotent et d'un endo diagonal qui commutent entre eux
• Le second est la réduction de Jordan: on peut trouver une base où la matrice d'un endomorphisme contient ses valeurs propres sur la diag principale et des 1 au dessus

J'aimerai donc bien connaître les liens entre ces deux théorèmes...

Je vous remercie d'avance
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[invite6710ed20]

Bonjour
La décomposition de Dunford te dit que u=d+n avec d diagonalisable, n nilpotent et d et n commutent.
Mais la réduction de Jordan c'est plus que ça.
C'est à dire que tu vas chercher une base particulière où la matrice de l'endomorphisme u admet en dehors de la diagonale un maximum de zéros. De plus ces coefficients non nuls, on s'arrange pour qu'ils soient égaux à 1 et situés juste au dessus de la diagonale principale.

[invitea75ee6d0]

Merci de votre réponse, du coup la décomposition de Dunford est un "corollaire" de la réd de Jordan ?

[invite6710ed20]

Bonjour
Oui si on connait la décomposition de Jordan, cela implique Dunford.
Ceci étant dit, je crois que la décomposition de Dunford a été trouvée avant Jordan en faire un corollaire va en quelques sorte à contre-sens de l'histoire.
Personnellement je ne connais pas vraiment le décomposition de Dunford mais la démonstration est assez immédiate.
De plus la réduction de Jordan étant votre sujet, je ne pense pas qu'il soit très important pour commencer d'établir le lien.
S'attaquer directement à la réduction de Jordan est surement ce qu'il y a de mieux à faire, d'autant plus que ce sujet comporte plusieurs facettes d'où son intérêt.
Sans oublier que cette réduction facilite pas mal de démonstrations.
Bien comprendre la réduction de Jordan devrait être votre priorité.

[A voir en vidéo sur Futura]