polynôme d'endomorphisme

[maatty]

Bonsoir à tous,
je souhaiterai savoir si mon raisonnement sur le problème suivant ne comporte pas d'erreurs où s'il ne manque pas quelque chose.
On considère une matrice A de et on veut déterminer l'ensemble des polynômes P tel que P(A) est nilpotent.

- Considérons le polynôme minimal de noté où valeurs propre de ;

Alors pour tout i, valeur propre de . Or nilpotent donc et donc racine de P pour tout i.
Ainsi où entier naturel et Q polynôme.

- Si alors P(A)=0 ( car divise ) donc est nilpotent

- Sinon en posant et alors car tout commute et donc nilpotent.


- Réciproquement il est immédiat que tout polynôme ainsi défini rend nilpotent.

Je vous remercie par avance pour vos lumières sur d'éventuelles erreurs ou oublis de ma part dans mon raisonnement
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[maatty]

Re bonjour
"Je reviens à la charge"; pour savoir s'il n'y a pas de problème. En particulier si je ne loupe rien sur d'éventuelles conditions sur Q

je vous remercie.

[raymolk]

À moins qu'il y ait quelque chose que je ne vois pas (ce qui est bien possible), les P tels que P(A) est nilpotent sont simplement les polynômes annulateurs de A :
- si P(A) est nilpotent, comme P(ξ_i) est valeur propre de P(A), P(ξ_i) = 0 pour tout i, donc le polynôme minimal de A divise P, et donc P(A) = 0 ;
- si P(A) = 0, P(A) est nilpotent.

[maatty]

Merci pour votre réponse
mais ne peut on avoir par exemple des polynômes comme je les ai décris plus haut comme par exemple pour Q=1, un polynôme

scindé avec les même racines que mais avec des multiplicités inférieures à celles dans , avec un exposant k suffisamment grand (voir décrit plus haut) ou bien me trompe-je? Auquel cas il y en a plus que simplement les multiple de (puisqu'il y a les diviseurs de contenant les mêmes polynômes irréductibles.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,

Vous avez raison, mais vous pouvez simplifier votre description : pour que le polynome P(A) soit nilpotent, il suffit qu'il ait comme racines toutes les racines du polynome minimal. Donc les polynômes en question sont des multiples quelconques du polynome dont tous les beta sont égaux à 1
(peu importe si l'une de ces racines reapparait dans le Q(x)

[maatty]

Merci beaucoup pour votre réponse, c'est effectivement une description plus simple.

[raymolk]

Ah, voilà donc ce que je loupais : la multiplicité.
Désolé d'avoir mal lu ton post initial, mais j'avais du mal à suivre entre :
- le début (premier tiret), où tu supposes que P(A) est nilpotent pour en déduire une condition nécessaire de nilpotence ;
- la suite (les trois tirets suivants) où tu oscilles entre montrer la réciproque (troisième tiret ?) et continuer sur ta lancée pour déduire ton hypothèse de départ ! (tirets 2 et 3)
Du coup je n'ai gardé que le premier tiret, en oubliant de traiter la multiplicité

[maatty]

Oui, mea culpa,
ce n'était pas très clair de ma part, je dis réciproquement pour conclure ce que je dis sur les 2 alinéas précédents ce qui n'est pas très lisible du coup