Bonsoir à tous,
je souhaiterai savoir si mon raisonnement sur le problème suivant ne comporte pas d'erreurs où s'il ne manque pas quelque chose.
On considère une matrice A deet on veut déterminer l'ensemble des polynômes P tel que P(A) est nilpotent.
- Considérons le polynôme minimal denoté
où
valeurs propre de
;
Alors pour tout i,valeur propre de
. Or
nilpotent donc
et donc
racine de P pour tout i.
Ainsioù
entier naturel et Q polynôme.
- Sialors P(A)=0 ( car
divise
) donc
est nilpotent
- Sinon en posantet
alors
car tout commute et donc
nilpotent.
- Réciproquement il est immédiat que tout polynôme ainsi défini rendnilpotent.
Je vous remercie par avance pour vos lumières sur d'éventuelles erreurs ou oublis de ma part dans mon raisonnement
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