Théorème de Lagrange (preuve)

[ArnoGreg]

Bonjour,

j'essaye de comprendre la démonstration du théorème de Lagrange suivant :

un groupe fini d'ordre
un sous-groupe de

Pour tout , on a :
1)
2)
3) En particulier, .

Je comprends très bien le point 1).
J'ai plus de mal à formaliser le point 2) :

Je note où sont toutes les classes d'équivalences 2 à 2 distinctes. -OK.
Je sais que et donc . -OK.
Je sais que et donc ===> c'est sur ce dernier point que j'hésite.

Par conséquent :




D'où :


Qu'en pensez-vous ?

Pour le point 3) je le comprends bien, c'est une conséquence de ce qui précède.
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[minushabens]

En fait I n'est pas donné, donc c'est juste G/H, pas besoin d'introduire une notation nouvelle.

[ArnoGreg]

En fait, il suffit d'écrire :

?

Et donc :


?

Cependant, l'égalité ne peut s'écrire que sous certaines conditions, non ?

[raymolk]

Sous la seule condition que les ensembles soient deux à deux disjoints, ce qui est toujours le cas pour des classes d'équivalence, donc c'est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]