approximation de pi

[invitef3a57591]

Bonjour à tous,

je rédige ce message car je me suis pas mal amusé avec les cercles en cours de philo, et, j'en suis venu à exprimer une de ces sommes infinies qui converge vers pi ( comme Euler savait si bien le faire). J'aimerais en fait savoir si ma somme est inédite (ce qui me ferait pas mal plaisir) ou si elle est déjà bien connue. J'ai fait quelques recherche mais n'ai rien trouvé de tel et j'en viens à penser qu'il est plausible que je l'ai découverte. Même si il s’avérait qu'elle était en fait déjà existante, je me demande quel intérêt elle pourrait bien présenter...?mais aussi en général, en quoi certaines formules d'approximations de pi pourraient être meilleures que d'autres, et y a t-il une réelle utilité à calculer de plus en plus de décimale de pi?

Voici la bête:



C'est quelque chose que j'ai démontré et qui fonctionne, j'ai pu m'en rendre compte après avoir programmer l'algorithme suivant :

0 --> U
0 --> V
"k=":? --> K
For 0 -- > K To N
--> V
--> U
Next
""
Afficher

Ce programme m'a montré que ma somme permet de trouver les 8 premières décimales quand on va jusqu’à k=14 ( 3.14159265)

Avez-vous déjà vu cette somme?

Merci de vos réponses
-----

[gg0]

Bonjour.

Il est possible que ce soit nouveau, ou que, sous une écriture différente, la formule soit connue depuis des siècles. L'écriture de racine carrée de nombres négatifs pose un problème de signification, qu'il faut présenter, car par exemple, -4 a deux racines carrées (on évite généralement la notation avec le radical pour les négatifs).
Pour l'intérêt : à priori aucun, on connaît des calculs qui donnent à chaque boucle le double de décimales correctes de pi, voire mieux, et même une méthode qui donne directement la n-ième décimale de pi en binaire.
Mais c'est bien de faire des calculs et de trouver des méthodes. C'est bien pour toi.

Cordialement.

[invite9dc7b526]

Il y a une formule qui fait penser à la tienne ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Approx...les_classiques

note que ça n'est qu'une approximation "ponctuelle" pas une suite d'approximations qui converge.

Ramanujan a exhibé un certain nombre de suites qui convergent vers pi. Ici par exemple : http://www.pi314.net/fr/ramanujan.php

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble que l'on peut simplifier :

Ce qui peut s'écrire plus simplement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

mais aussi en général, en quoi certaines formules d'approximations de pi pourraient être meilleures que d'autres,

Les formules d'approximation convergent plus ou moins rapidement.

et y a t-il une réelle utilité à calculer de plus en plus de décimale de pi?

La question est d'origine historique et remonte aux géomètres grecs (Euclide, archimèdes etc). Elle fut initiée avec le problème de la quadrature du cercle consistant à rechercher une construction géométrique n'utilisant que la règle et le compas et permettant de construire le côté d'un carré d'aire égale au disque de rayon unité. Ce problème amena de nombreux géomètres-mathématiciens à essayer de le résoudre et, entre autre, à calculer des approximations de plus en plus précises ( Al-Kashi (15e), Viète (16e), L. Van Ceulen(17e), etc).
Aujourd'hui je pense que l'utilité de vouloir calculer de plus en plus de décimales de Pi est liée à la recherche de formules d'approximation de plus en plus rapide (travaux de Plouffe et des Borwein), et de tester les possibilités calculatoires des ordinateurs.

Bibliographie:
Jean-Paul Delahaye. Le fascinant nombre Pi. Ouvrage très lisible
P. Eymard, JP. Lafon. Autour du nombre Pi. Plus technique, niveau Licence/prépas

[invitef3a57591]

Bonjour,

merci @Médiat pour ta suggestion, c'est tout à fait correct, cependant, je laisse le +4 que tu as simplifié apparent car sinon le premier terme de ma suite ( k=0 ) n'est pas évident :

[invitef3a57591]

Sinon je me suit documenté un peu plus et j'ai bien vu que ma formule est tout à fait obsolète, j'en ai trouvé qui permettent d'avoir plus de 10 décimale par itération pendant que la mienne en demande 14 pour 8 pauvres décimales ( on en a plus de 10 000 000 000 000!! d'après ce que j'ai lu).
On réfléchissant sur ce que j'ai fait, je me suis aussi posé des questions sur la pertinence de ma sommes et de celles d'autres mathématiciens que j'ai lus. Dans beaucoup d'entre elles la racine carrée de 2 intervient, or ce nombre est également irrationnel... cela signifie que la précision de ces formules dépend largement de la précision avec laquelle on approche racine de 2. je trouve que pi est un nombre un peu décourageant .....

[invitef3a57591]

Est-ce que quelqu'un d'entre vous saurait où trouver une démonstration de la formule de ramanujan suivante

Ça m’intéresserait vraiment de voir comment on en est arriver à trouver ça.

[invitedd63ac7a]

Apparemment le coefficient est racine(8)/9801.
"On ignore semble-t-il les détails de la démonstration de Ramanujan. assez recemment , les frères Borwein ont reconstitué une preuve complète"
Je tire cette citation du livre, que j'ai cité ci-dessus Autour du nombre Pi, les auteurs donnent une idée de la démonstration qui utilise les intégrales elliptiques et leurs propriétés. C'est d'un bon niveau M2.

[invitef3a57591]

Bonsoir,

Merci beaucoup je vais aller chercher de ce côté là, même si c'est trop compliqué je demanderais à mon prof de maths

Est-ce que ramanujan faisait ses démonstration mais il ne notais vraiment que le résultats ou il sortait juste la formule comme ça... un génie...

[invite9dc7b526]

Est-ce que ramanujan faisait ses démonstration mais il ne notais vraiment que le résultats ou il sortait juste la formule comme ça... un génie...

il était paraît-il inspiré par je ne sais plus quelle déesse, du moins est-ce ce que dit la légende... Hardy raconte que quand il a reçu la lettre de Ramanujan avec quelques-uns de ses résultats - sans démonstration - il n'a pas su comment les démontrer mais il a été certain qu'ils étaient corrects, parce que personne n'aurait pu inventer des formules aussi belles.

[gg0]

Bonjour.

On peut penser qu'il suivait des raisonnements heuristiques, comme en font beaucoup de mathématiciens, mais n'ayant pas été formé au raisonnement mathématique, qu'il manquait de moyens techniques pour faire plus tout seul. Sa collaboration avec Hardy a dû le faire vite progresser.

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Voici un document traitant du calcul de Pi, d'abord l'introduction et ensuite le document:
L'histoire fascinante de la constante que nous connaissons maintenant sous le nom de Pi s'étend sur plusieurs millénaires, presque depuis le début de l'histoire jusqu'à nos jours. À bien des égards, cette histoire est parallèle à l'avancement de la science et de la technologie en général, des mathématiques et de la technologie informatique. Un aperçu de cette histoire est présenté ici en sections une et deux. Certains développements récents passionnants sont discutés dans les sections trois et quatre. La section cinq explore la question de savoir pourquoi ce sujet a un tel intérêt durable.
TheQuestforPiDavidH.Bailey,1Jo nathanM.Borwein,2PeterB.Borwei n,2andSimonPlouffe

[invitef3a57591]

merci beaucoup , j'ai aussi trouvé ça:
https://www.maa.org/sites/default/fi...eference_5.pdf
apparemment il faut aussi que je me renseigne sur la théorie des fonctions elliptiques:
http://projecteuclid.org/download/pd...hmm/1428681889

[invitedd63ac7a]

Quel niveau as-tu en mathématiques @Quantenelektrodynamik ? Terminal S ou plus haut ?

[invitef3a57591]

Ts et c'est bien ça le problème
mais je suis motivé, ça me décourage pas non plus, je veux dire je suis vraiment intéressé, j'ai envie de comprendre et c'est pas ça qui va m’arrêter.
Juste une question, est-ce que la géométrie hyperbolique a un lien avec les intégrales elliptiques?

[invitedd63ac7a]

Juste une question, est-ce que la géométrie hyperbolique a un lien avec les intégrales elliptiques?

Oui, il existe des liens étroits,
Les fonctions trigonométriques y=sin(x), z=cos(x) correspondent au cercle et à l'intégrale :

liée à la longueur d'un arc de cercle
Les fonctions hyperboliques y=sh(x), z=ch(x) correspondent à la parabole (xˆ2=2py) et à l'intégrale :

liée à la longueur d'un arc de parabole.
Les fonctions elliptiques y=sn(x), z=cn(x) correspondent, plus ou moins directement à l'ellipse et à l'intégrale elliptique :

liée à la longueur d'un arc d'ellipse.
Ces correspondances ne sont pas simples, surtout en ce qui concerne les fonctions elliptiques.
Les intégrales elliptiques découvertes au 17e siècle avec les fonctions elliptiques étudiées au 19e constituent une théorie remarquable des mathématiques. De même qu'il existe des trigonométries circulaire et hyperbolique avec formules d'addition et multiplication, il existe une trigonométrie elliptique élégante qui s'étend naturellement à C.

[invitef3a57591]

Ok merci beaucoup
j'ai commencé les fonctions hyperboliques

[invitedd63ac7a]

L. Van Ceulen obtient en 1596 Pi à 20 décimales exactes. Ce résultat fut obtenu en calculant les périmètres de polygones réguliers inscrit dans un cercle.
Ecrire un algorithme permettant de calculer les périmètres d’une suite de polygones P(n), réguliers inscrits, dans un cercle de rayon 1, tel P(n+1) ait le double de côtés de P(n) et que P(0) soit un hexagone régulier.
Pour vérifier ce programme on pourra utiliser le logiciel de calcul formel libre, gratuit et en ligne SageMath.
Il comprend la syntaxe python.
Pour fonction d’évaluation on pourra utiliser :
numerical_approx(a, digits=d) qui renvoie une approximation de a à d décimales.
Avec ces polygones inscrits j’ai obtenu :
Nbr_cot_Poly= 12 Demi_Peri= 3.1058285412302491481867860514 885799
Nbr_cot_Poly= 24 Demi_Peri= 3.1326286132812381971617494694 917362
Nbr_cot_Poly= 48 Demi_Peri= 3.1393502030468672071351468212 084212
Nbr_cot_Poly= 96 Demi_Peri= 3.1410319508905096381113529264 596600
Nbr_cot_Poly= 192 Demi_Peri= 3.1414524722854620754506093089 612246
Nbr_cot_Poly= 384 Demi_Peri= 3.1415576079118576455164633451 298582
Nbr_cot_Poly= 768 Demi_Peri= 3.1415838921483184086689696037 211285
Nbr_cot_Poly= 1536 Demi_Peri= 3.1415904632280500957384585059 309951
Nbr_cot_Poly= 3072 Demi_Peri= 3.1415921059992715505447766406 099216
Nbr_cot_Poly= 6144 Demi_Peri= 3.1415925166921574475928740847 702107
Nbr_cot_Poly= 12288 Demi_Peri= 3.1415926193653839551895493120 608754
Nbr_cot_Poly= 24576 Demi_Peri= 3.1415926450336908966721415089 240172
Nbr_cot_Poly= 49152 Demi_Peri= 3.1415926514507676517042536404 793331
Nbr_cot_Poly= 98304 Demi_Peri= 3.1415926530550368416911231802 418967
Nbr_cot_Poly= 196608 Demi_Peri= 3.1415926534561041392646431590 200829
Nbr_cot_Poly= 393216 Demi_Peri= 3.1415926535563709636628233136 341363
Nbr_cot_Poly= 786432 Demi_Peri= 3.1415926535814376697626683467975966
pi= 3.14159265358979323846…

Combien de côtés faut-il pour obtenir une approximation de 20 décimales exactes ?
Même question avec 35 décimales ? 2e résultat de L. Van Ceulen