Famille libre / trouver des vecteurs libres

[malakasolo]

Bonsoir,
Actuellement je tente de resoudre un exercice sur les bases , famille generatrice- libre mais je suis bloqué.
Voici la consigne de l'exercice :
ce que j'ai fait :
pour la a) ==> j'ai reecris le systeme sous forme de matrice puis j'ai reverifié que celle ci etait liée. Je bloque sur le fait de trouver 3 vecteurs libres..
ma matrice finale est [ 1 1 1 0
0 -1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0 ]
Comment faut - il s'y prendre ?
pour la b) ==> j'ai reecris un systeme avec la base donnée à la a en remplacant uniquement le dernier vecteur par le vecteur nul et c'est liée.

Merci
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[Dicedead]

Heyyo

Pour la a), tu n'as pas la bonne matrice échelonnée réduite. Pose v1 = e1 + e2, v2 = e1 + e2 + e3, etc; puis échelonne la matrice dont les colonnes sont v1, ... , v4. Si c'est ce que tu as fais, je pense qu'il y a erreur de calcul quelque part.
De là, selon où en est ton cours d'algèbre linéaire, tu devrais pouvoir observer une propriété de la matrice échelonnée réduite obtenue et tu pourras tirer la conclusion voulue sur la matrice de départ.

Pour le b), de ce que je comprends, tu n'as pas montré le cas général; la consigne est de montrer que toute famille contenant le vecteur nul est liée. Essaie de vérifier la définition de famille liée, ie il existe des coefficients non tous nuls tels que . Tu sais en plus que l'un au moins des vi est le vecteur nul.

En espérant que ce message t'ait été utile

[malakasolo]

Salut
désolé de repondre aussi tard.

J'ai recommencé en posant bien v1 , v2 , v3 et v4 mais je tombe quand meme sur cette matrice. est ce ce que la bonne serait :
(1 1 1 0
0 0 0 0
0 -1 1 1
0 0 0 0 )
Car meme dans sa correction , le prof a ceci.

Selon mon cours , la somme des lambdas * vn = 0 ; or ici , nous avons un systeme : a + b +c = 0 et -b + c + d = 0. Pas de solutions donc liées

Pour la b , en effet j'ai démontré avec la base de R4 avec v4 le vecteur nul . Ce qui donne en matrice :
( 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 )

[minushabens]

bonjour,

pour la question b) tu n'as pas besoin de faire intervenir des matrices. De plus le résultat est vrai dans n'importe quel espace vectoriel et pas seulement dans R^4. Tu doit juste exhiber une combinaison linéaire à coefficients non tous nuls de la famille 0,(ei)i dans I. Il y en a une évidente il me semble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[malakasolo]

Bonjour,
je n'ai pas compris , dans le cas général une famille est liée si les vecteurs s'ecrivent combinaisons linéaires. Je ne comprends pas comment le demontrer dans le cas général

[minushabens]

Commençons petit: si la famille est composée du seul vecteur nul, peux-tu démontrer qu'elle est liée?

[Dicedead]

Eyyo

Pour revenir sur la question 1: il y a erreur quelque part, soit dans l'énoncé soit dans le corrigé, car Matlab donne bien une forme échelonnée réduite à non pas 2 mais 3 pivots. D'ailleurs si on n'avait que deux pivots, on déduirait que le rang de cette matrice est de 2, et donc que seulement 2 de ses vecteurs colonnes sont linéairement indépendants - ce qui va contre la proposition énoncée.
La matrice que tu proposes est presque une forme échelonnée non réduite, à un coefficient près (mais qui change tout).

Est-ce que tu poses Ax = 0 quand tu parles de ton cours:

Selon mon cours , la somme des lambdas * vn = 0 ; or ici , nous avons un systeme : a + b +c = 0 et -b + c + d = 0. Pas de solutions donc liées

Si c'est le cas, il y a erreur dans ton raisonnement: tout système homogène a au moins une solution (la solution triviale).

Pour la 2, si un vecteur d'une famille donnée est nul, tu peux toujours trouver une combinaison linéaire non triviale de ce vecteur en fonction des autres. Reste à le démontrer.

[jall2]

Pour la question a) il manque des informations

Les vecteurs forment une famille libre, non ?