Cardinal ensemble infini

[invitedf3b174e]

Bonjour
Je ne rappel pas mes cours sur les cardinaux

C’est un sujet que je n’ai pas rencontré depuis l’école.

Je me rappel des cardinaux des ensembles finis, c’est le nombre d’éléments de l’ensemble.

Pour les ensembles infinis je ne me rappelle que des cardinaux de N et R. le cardinal de R est supérieur au cardinal de N. j’ai mémorisé dénombrable pour N et non dénombrable pour R et c’est tout.

J’ai fait des recherche GOOGLE et je n’ai pas pu trouver de réponse simple.

Qu’ils sont les autres cardinaux autres que N et R ?
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[invitedf3b174e]

Bonjour
Je ne rappel pas mes cours sur les cardinaux

C’est un sujet que je n’ai pas rencontré depuis l’école.

Je me rappel des cardinaux des ensembles finis, c’est le nombre d’éléments de l’ensemble.

Pour les ensembles infinis je ne me rappelle que des cardinaux de N et R. le cardinal de R est supérieur au cardinal de N. j’ai mémorisé dénombrable pour N et non dénombrable pour R et c’est tout.

J’ai fait des recherche GOOGLE et je n’ai pas pu trouver de réponse simple.

Qu’ils sont les autres cardinaux autres que N et R ?

bonjour
je pense qu'il faut déplacer vers science ludique
c'est un sujet qui intéressera peut être des personnes âgés, comme moi, qui commencent à oublier leurs cours.

[Médiat]

Je ne rappel pas mes cours sur les cardinaux

Vous devriez trouver facilement quelle est la première chose à faire ...

[invitedf3b174e]

Vous devriez trouver facilement quelle est la première chose à faire ...

Je fais « cardinal » sur google et je trouve un long discourt sur les cardinaux des ensembles finis et je me fatigue avant d’arriver sur les ensembles infinis

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

Une référence sur le web francophone :

https://dehornoy.users.lmno.cnrs.fr/surveys.html

Cordialement

[Resartus]

Bonjour,
Pour faire court :
1) on peut numéroter les cardinaux infinis aleph0, aleph1, etc.
2) Le cardinal de N, de Z, de Q, et autre ensembles dénombrables est aleph0 le plus petit cardinal infini
3) On sait que le cardinal de R vaut 2 puissance aleph0 et est strictement supérieur à Aleph0 :
Mais on ne sait pas si 2puissance aleph0 est aleph1 ou un cardinal supérieur*
4) C'est à peu près pareil un cran au dessus : le cardinal des fonctions de R à valeurs dans R est 2puissance le cardinal de R, on sait qu'il est strictement supérieur au cardinal de R, mais on ne sait pas de combien*....
Et on peut continuer comme cela à l'infini....

*C'est à dire qu'on n'a pas réussi à ce jour à identifier d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre les deux

[invitedf3b174e]

Bonjour,
Pour faire court :
1) on peut numéroter les cardinaux infinis aleph0, aleph1, etc.
2) Le cardinal de N, de Z, de Q, et autre ensembles dénombrables est aleph0 le plus petit cardinal infini
3) On sait que le cardinal de R vaut 2 puissance aleph0 et est strictement supérieur à Aleph0 :
Mais on ne sait pas si 2puissance aleph0 est aleph1 ou un cardinal supérieur*
4) C'est à peu près pareil un cran au dessus : le cardinal des fonctions de R à valeurs dans R est 2puissance le cardinal de R, on sait qu'il est strictement supérieur au cardinal de R, mais on ne sait pas de combien*....
Et on peut continuer comme cela à l'infini....

*C'est à dire qu'on n'a pas réussi à ce jour à identifier d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre les deux

Merci, Je vois maintenant, Ceci n’était pas dans les cours.
ce n'est pas un oubli

[Médiat]

Bonsoir,

Mais on ne sait pas si 2puissance aleph0 est aleph1 ou un cardinal supérieur*

*C'est à dire qu'on n'a pas réussi à ce jour à identifier d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre les deux

On sait parfaitement : cette question est indécidable dans ZFC

[invitedf3b174e]

Merci à tous
J’ai cru que j’ai oublié mes cours.
Je me rends compte que ce n’était pas dans les cours

[syborgg]

Bonsoir,
On sait parfaitement : cette question est indécidable dans ZFC

Pour etre un poil plus precis pour Resartus : a partir d'un modele de ZFC, on sait construire des modeles de ZFC dans lesquels R a pour cardinal aleph_1, ou un cardinal strictement plus grand que aleph_1. Et si ne me m'abuse (Mediat me corrigera au besoin), il me semble qu'on sait construire des modeles de ZFC ou R a pour cardinal n'importe quel aleph_n, pour n entier non nul.

[invite9dc7b526]

Et dans ZF sans C ?

[invite9dc7b526]

je précise ma question: si on enlève un axiome ce qui était indécidable est "encore" moins" décidable. Mais je me demandais si on pouvait toujours construire des modèles comme indiqués par syborgg.

[Médiat]

Pour etre un poil plus precis pour Resartus : a partir d'un modele de ZFC, on sait construire des modeles de ZFC dans lesquels R a pour cardinal aleph_1, ou un cardinal strictement plus grand que aleph_1. Et si ne me m'abuse (Mediat me corrigera au besoin), il me semble qu'on sait construire des modeles de ZFC ou R a pour cardinal n'importe quel aleph_n, pour n entier non nul.

Bonjour,

Oui c'est bien cela, la limite est bien , et je précise que grâce au forcing (Cohen), on sait construire (dans un sens un peu particulier) ces modèles

[Médiat]

Et dans ZF sans C ?

Sans le C la notion de cardinal est beaucoup plus "flou" (on sait définir une telle notion mais elle pose beaucoup plus de problème), c'est pourquoi, en général, quand on veut parler de cardinal on prend l'axiome du choix (comme cela tout ensemble a un cardinal)

[Superbenji]

Bonjour,
En fait, l'axiome du choix, C, est équivalent au théorème de Zermelo, qui dit que tout ensemble peut être bien ordonné. Autrement dit être mis en bijection avec un ordinal, ce qui garanti alors que les cardinaux peuvent tous être comparés par la relation d'ordre < et forment eux même une structure bien ordonnée. Sans C on ne peut plus affirmer cela.

Maintenant pour l'autre point, si je ne dit pas de bêtises, la méthode du forcing consiste à partir d'un modèle de ZFC où l'hypothèse du continue est vraie, et de lui ajouter de "nouveaux nombres réels" (au sens de ce modèle), de telle manière que cette nouvelle structure vérifie toujours les axiomes de ZFC et dans la quelle il n'existe plus de bijection entre les réels et Aleph_1 (toujours au sens de ce modèle).

[invitedf3b174e]

bonjour
Ce que je sais de ZFC remonte à juste une semaine, quelques WIKI et quelques vidéos.

Je suis plus intuitif que rationnel et je cherche une réponse à une question sur cardinaux des ensemble infinis.
J’ai stagné depuis très longtemps sur un résultat intuitif et je ne vois que le cardinal de N (les dénombrables) et le cardinal de R (les indénombrables).

Je cherche sur google pour voir un troisième cardinal différent de N et R mais je ne trouve que des formules sur la relation entre les cardinaux.

J’ai trouvé le cardinal inaccessible et comme explication il est dit quelque chose comme (c’est la limite de la théorie ZFC)

Qu’est ce qui manque ? est ce qu’il y a un exemple d’ensemble infini dont le cardinal est strictement différent de N et R et je ne le trouve pas car je cherche mal

Ou la question n’est pas mathématique

[pm42]

J’ai stagné depuis très longtemps sur un résultat intuitif et je ne vois que le cardinal de N (les dénombrables) et le cardinal de R (les indénombrables).

les parties de R, les parties des parties de R...

[invitedf3b174e]

les parties de R, les parties des parties de R...

Excusez mon ignorance
Je vois l’ensemble « les parties de R » avec un cardinal égal à celui de R

[pm42]

Excusez mon ignorance
Je vois l’ensemble « les parties de R » avec un cardinal égal à celui de R

Si tu avais tapé "parties de N" ou "parties de R" dans un moteur de recherche, tu aurais pu savoir au lieu de "voir"...
Poser des questions systématiquement sans faire aucun travail personnel ne permet pas d'apprendre en maths (ou dans d'autres domaines d'ailleurs).

[Médiat]

Maintenant pour l'autre point, si je ne dit pas de bêtises, la méthode du forcing consiste à partir d'un modèle de ZFC où l'hypothèse du continue est vraie, et de lui ajouter de "nouveaux nombres réels" (au sens de ce modèle), de telle manière que cette nouvelle structure vérifie toujours les axiomes de ZFC et dans la quelle il n'existe plus de bijection entre les réels et Aleph_1 (toujours au sens de ce modèle).

C'est bien cela, on peut même "forcer" une bijection entre les réels et

[invitedf3b174e]

Si tu avais tapé "parties de N" ou "parties de R" dans un moteur de recherche, tu aurais pu savoir au lieu de "voir"...
Poser des questions systématiquement sans faire aucun travail personnel ne permet pas d'apprendre en maths (ou dans d'autres domaines d'ailleurs).

désolé, Les recherches sont difficiles.
Tous les sites commencent par une longue description des parties d’un ensemble fini
Puis ils enchaînent sur les parties de N, pour finir sue théorie complexe
Une fois sur R il faudra lire entre les lignes,
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemb...%27un_ensemble

J’ai compris
L’ensemble « les parties de R » a un cardinal nécessairement supérieur à celui de R.
Il ne me reste plus qu’à l’admettre,
C’est un peu difficile pour moi. Tous les points d’une droit ne peuvent pas contenir l’ensemble (les parties de R), il restera des éléments de cet ensemble qui ne trouveront pas de place sur la droit.

Je reconnais que l’intuition a ces limites

[Superbenji]

Excusez mon ignorance
Je vois l’ensemble « les parties de R » avec un cardinal égal à celui de R

Ce n'est pas très difficile, si tu prends le temps de comprendre l'argument de la diagonale de Cantor, tu verra que ce que tu vois est faux.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Argume...nale_de_Cantor
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...A8me_de_Cantor

[invitedf3b174e]

Bonjour
Article : Deux infinis différents sont en fait de même taille.
C’est une actualité qui remonte à 2017, je n’ai rien compris. Est-ce que quelqu’un sait de quoi elle parle et merci d’avance
https://www.pourlascience.fr/sd/math...ille-12707.php

[gg0]

Bonsoir Iharmed.

Cette notion de cardinaux infinis n'a rien d'évident, et ne peut être comprise qu'avec la volonté de comprendre en y mettant le temps et l'intelligence. Ce n'est pas en lisant des articles de vulgarisation (destinés à ceux qui veulent savoir sans comprendre) que tu progresseras. Prends un cours de théorie des ensembles, par exemple celui de Patrick Dehornoys : https://dehornoy.users.lmno.cnrs.fr/surveys.html, (aller au paragraphe "logique et théorie des ensembles" et cliquer sur chacun des chapitres), puis étudie-le sérieusement.

Bonne réflexion !

[raymolk]

je n’ai rien compris.

Pas étonnant : ça me semble être un excellent article pour ne rien comprendre.
On y mélange allègrement les sens « philosophique » flou et mathématique très précis de notions difficiles, le tout entrecoupé de citations sensationnelles et de médailles diverses et variées…
Il vaut probablement mieux sortir de ce genre de lectures en se disant qu'on n'a rien compris, plutôt qu'en pensant avoir compris quelque chose (de nouveau) !

[invitedf3b174e]

Bonsoir Iharmed.

Cette notion de cardinaux infinis n'a rien d'évident, et ne peut être comprise qu'avec la volonté de comprendre en y mettant le temps et l'intelligence. Ce n'est pas en lisant des articles de vulgarisation (destinés à ceux qui veulent savoir sans comprendre) que tu progresseras. Prends un cours de théorie des ensembles, par exemple celui de Patrick Dehornoys : https://dehornoy.users.lmno.cnrs.fr/surveys.html, (aller au paragraphe "logique et théorie des ensembles" et cliquer sur chacun des chapitres), puis étudie-le sérieusement.

Bonne réflexion !

bonsoir et merci
Je ne suis pas totalement borné, je sais des choses.
J’ai lu en diagonal et j’ai compris l’approche.

Mon problème c’est le contre intuition, et je cherche qu'est ce qui conduit à ce contre intuition.

La démonstration de CANTOR est astucieuse,

il me reste un dernier doute. L’ensemble de tous les sous ensemble d’un ensemble est-t-il vraiment un ensemble.
Est-ce que la définition de c’est quoi un ensemble le permet ?

[Superbenji]

il me reste un dernier doute. L’ensemble de tous les sous ensemble d’un ensemble est-t-il vraiment un ensemble.
Est-ce que la définition de c’est quoi un ensemble le permet ?

C'est précisément l'un des axiomes de ZFC, l'axiome de l'ensemble des parties. Qui affirme pour tout ensemble E l'existence d'un ensemble P(E) contenant pour seuls éléments toutes les parties de E.

[invitedf3b174e]

C'est précisément l'un des axiomes de ZFC, l'axiome de l'ensemble des parties. Qui affirme pour tout ensemble E l'existence d'un ensemble P(E) contenant pour seuls éléments toutes les parties de E.

merci
et pourquoi cet axiome ?
la définition de c’est quoi un ensemble serait suffisante

[gg0]

Intuitivement, on ne voit pas pourquoi ce ne serait pas un ensemble, ses éléments sont parfaitement définis. La théorie des ensembles justifie, à partir de différentes bases, que c'est un ensemble.

"Je ne suis pas totalement borné, je sais des choses.
J’ai lu en diagonal et j’ai compris l’approche." ?? J'espérais bien que tu ne sois pas borné, mais je ne comprends pas : Tu as lu quoi en diagonale ? Et quelle approche as-tu comprise ? En tout cas, je sais que comprendre ce qui est écrit dans un article de vulgarisation n'est pas comprendre la discipline vulgarisée. C'est seulement avoir une idée (plus ou moins correcte) de ce dont parle cette discipline ou d'une de ses préoccupations.
Les maths sont difficiles à vulgariser, car l'essentiel de la discipline est contre-intuitif. Pour comprendre, en maths, il faut rejeter le "j'ai compris" pour passer au "quelles sont les règles et que donnent-elles dans ce cas ?".

Pour la définition d'un ensemble, tu vas être déçu, dans l'axiomatique la plus courante (ZFC), le mot "ensemble" n'est pas défini. On part de deux notions premières "ensemble" et "appartenir", et quelques axiomes. Mais c'est simplement pour retrouver les idées élémentaires qu'on a sur la notion d'ensemble comme "collection d'objets mathématiques clairement définie". De façon que si A est un ensemble, et b un objet, on est sûr que soit b appartient à A, soit non. Et A est la collection des b qui appartiennent à A. mais ça c'est intuitif, et si on veut une théorie formelle et solide, comme ZFC, ça devient tout de suite bien plus théorique.

Cordialement

[invitedf3b174e]

Intuitivement, on ne voit pas pourquoi ce ne serait pas un ensemble, ses éléments sont parfaitement définis. La théorie des ensembles justifie, à partir de différentes bases, que c'est un ensemble.

"Je ne suis pas totalement borné, je sais des choses.
J’ai lu en diagonal et j’ai compris l’approche." ?? J'espérais bien que tu ne sois pas borné, mais je ne comprends pas : Tu as lu quoi en diagonale ? Et quelle approche as-tu comprise ? En tout cas, je sais que comprendre ce qui est écrit dans un article de vulgarisation n'est pas comprendre la discipline vulgarisée. C'est seulement avoir une idée (plus ou moins correcte) de ce dont parle cette discipline ou d'une de ses préoccupations.
Les maths sont difficiles à vulgariser, car l'essentiel de la discipline est contre-intuitif. Pour comprendre, en maths, il faut rejeter le "j'ai compris" pour passer au "quelles sont les règles et que donnent-elles dans ce cas ?".

Pour la définition d'un ensemble, tu vas être déçu, dans l'axiomatique la plus courante (ZFC), le mot "ensemble" n'est pas défini. On part de deux notions premières "ensemble" et "appartenir", et quelques axiomes. Mais c'est simplement pour retrouver les idées élémentaires qu'on a sur la notion d'ensemble comme "collection d'objets mathématiques clairement définie". De façon que si A est un ensemble, et b un objet, on est sûr que soit b appartient à A, soit non. Et A est la collection des b qui appartiennent à A. mais ça c'est intuitif, et si on veut une théorie formelle et solide, comme ZFC, ça devient tout de suite bien plus théorique.

Cordialement

désolé gg0
je ne connais ZFC que depuis une semaine
j'ai des intuitions et je cherche pourquoi elle ont dérapées
l'ensemble de tous les sous ensemble est définis mais il ne doit pas être autorisé, il conduira l'ensemble des sous ensemble du nouveau ensemble et sera interminable

je suggère de déplacer en science ludique, les intuitionniste comme moi ne font des mathématiques supérieur, juste des questions pour comprendre