Cardinal ensemble infini

[invitedf3b174e]

désolé gg0
je ne connais ZFC que depuis une semaine
j'ai des intuitions et je cherche pourquoi elle ont dérapées
l'ensemble de tous les sous ensemble est définis mais il ne doit pas être autorisé, il conduira l'ensemble des sous ensemble du nouveau ensemble et sera interminable

je suggère de déplacer en science ludique, les intuitionniste comme moi ne font des mathématiques supérieur, juste des questions pour comprendre

Excuser moi une fois de plus
Et si on ne sait pas les sous ensemble d’un ensemble, comment construire l’ensemble des sous ensemble de cet ensemble ?
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[Médiat]

C'est précisément l'un des axiomes de ZFC, l'axiome de l'ensemble des parties. Qui affirme pour tout ensemble E l'existence d'un ensemble P(E) contenant pour seuls éléments toutes les parties de E.

Précision : Qui affirme pour tout ensemble E l'existence d'un ensemble P(E) contenant pour seuls éléments toutes les parties de E qui sont des ensembles.

[Médiat]

Pas étonnant : ça me semble être un excellent article pour ne rien comprendre.
On y mélange allègrement les sens « philosophique » flou et mathématique très précis de notions difficiles, le tout entrecoupé de citations sensationnelles et de médailles diverses et variées…
Il vaut probablement mieux sortir de ce genre de lectures en se disant qu'on n'a rien compris, plutôt qu'en pensant avoir compris quelque chose (de nouveau) !

Soyons clair : cet article est une merde sans nom écrit par des gens n'ayant pas la moindre idée de ce sur quoi ils écrivent, ou qui ne pense qu'en termes de putaclicks : https://forums.futura-sciences.com/l...ml#post5997938

[Superbenji]

merci
et pourquoi cet axiome ?
la définition de c’est quoi un ensemble serait suffisante

Parce que ça fait justement partie de la définition mathématique de "être un ensemble" (ZFC). Comme te l'expliquais gg0, Il faut que dans ton esprit tu fasse la distinction entre le sens usuel que l'on donne au mot ensemble, dans le langage courant, et une définition formelle rigoureuse donnée dans la théorie ZFC.
Pourquoi ? parce que dans le sens usuel de la vie de tout les jours, on arrive très vite à des contradictions. Dans ce cadre, il te suffit de penser à "l'ensemble de tout les ensembles." par exemple. Cet ensemble devrais alors avoir en éléments chacun de ses sous-ensembles. Mais comme tu l'as vu plus haut avec la démonstration de Cantor, l'ensemble des sous-ensembles à un cardinal plus grand que l'ensemble en question. C'est contradictoire.
C'est pourquoi il faut poser une définition rigoureuse, des axiomes, qui se rapprochent autant que possible de l'intuition naturelle de ce qu'est un ensemble, mais tant que l'on reste cohérent.

l'ensemble de tous les sous ensemble est définis mais il ne doit pas être autorisé, il conduira l'ensemble des sous ensemble du nouveau ensemble et sera interminable

Ce qui ne pose aucun problème, il n'y aucune raison de ne pas l'autoriser.

[Superbenji]

Précision : Qui affirme pour tout ensemble E l'existence d'un ensemble P(E) contenant pour seuls éléments toutes les parties de E qui sont des ensembles.

En effet c'est mieux.

[choom]

....
Pourquoi ? parce que dans le sens usuel de la vie de tout les jours, on arrive très vite à des contradictions. Dans ce cadre, il te suffit de penser à "l'ensemble de tout les ensembles." par exemple. Cet ensemble devrais alors avoir en éléments chacun de ses sous-ensembles. Mais comme tu l'as vu plus haut avec la démonstration de Cantor, l'ensemble des sous-ensembles à un cardinal plus grand que l'ensemble en question. C'est contradictoire.
C'est pourquoi il faut poser une définition rigoureuse, des axiomes, qui se rapprochent autant que possible de l'intuition naturelle de ce qu'est un ensemble, mais tant que l'on reste cohérent. ...

Ha ha. Salut Iharmed. Moi aussi mes maths sont loin, mais je ne résiste pas au plaisir de rappeler le seul truc marrant dont je me souvienne lorsqu’on avait abordé le sujet en seconde année. C’est le paradoxe auquel mène de poser ‘soit E l’ensemble de tous les ensembles’. On constate de cette définition que E s’appartient en tant qu’élément de lui-même. Posons dès lors A l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas en tant qu’élément d’eux-mêmes.
La question vient : est-ce que A s’appartient à lui-même ? Et la réponse est : ben... si oui alors par définition c’est non, et si c’est non alors par définition c’est oui..🤪

[choom]

Ah ben zut, je vois que ce truc marrant s’appelle le paradoxe de Russel, et qu’il est repris dans le Wiki sur celui de Cantor, donc tu dois déjà l’avoir rencontré. Désolé Iharmed.

[gg0]

Iharmed :

j'ai des intuitions et je cherche pourquoi elle ont dérapées
l'ensemble de tous les sous ensemble est définis mais il ne doit pas être autorisé, il conduira l'ensemble des sous ensemble du nouveau ensemble et sera interminable

Tu n'as jamais eu des intuitions fausses ??
Et ce pourquoi elles ont dérapé est dans ta tête, pas dans le fonctionnement des mathématiques. Tu sembles avoir de gros problèmes avec la notion d'infini, voire même d'illimité : "et sera interminable". Si tu refuses d'accepter les conséquences des idées évidentes et logiques, c'est ton problème, et aucun mathématicien ne peut rien faire pour toi : La suite des entiers (0,1,2,3,...) est "interminable"; ce qui n'empêche pas de travailler avec les entiers, ni même avec l'ensemble de tous les entiers.
Les grecs anciens ont essayé de ne jamais considérer de l'infini "en acte", des ensembles infinis. Ça a donné une mathématique très compliquée qui bloquait sur des problèmes maintenant très simples. Et tu bénéficie, dans ta vie de tous les jours, des avancées scientifiques des 4 derniers siècles suite à l'acceptation de travailler avec l'infini en acte. Ce sont les grecs anciens qui avaient tort !

Cordialement.

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, le PDf de PATRICK DEHORNOY introduit le sujet ainsi:

"Élaborer une théorie des ensembles consiste à analyser les propriétés de ceux des objets mathématiques qui sont des ensembles.Comme définir les ensembles à partir d’objets plus primitifs est malaisé, on adopte en général une approche axiomatique"

Peut-on commencer par étudier les structures algébriques pour faciliter la compréhension de l'approche axiomatique (Monoïdes, Groupes, Anneaux, Corps) ?

[invitedf3b174e]

Peut-on commencer par étudier les structures algébriques pour faciliter la compréhension de l'approche axiomatique (Monoïdes, Groupes, Anneaux, Corps) ?

Bonjour
Merci à tous, j’ai compris et je vous explique mon problème.
Je ne connaissais pas ZFC et je prenais l’algèbre (la ou étudiait (les ensembles, les Corps, les anneaux, les ….)) comme la théorie des ensembles.

[invitedf3b174e]

bonjour
Maintenant que j’ai appris des choses, et merci, je reviens à ma question initiale posée autrement.

Il existe des ensembles ayant un cardinal supérieur à celui de R, le plus célèbre est E (ensemble des sous ensemble).

J’aimerai savoir, SVP, s’il y a quelqu’un qui a pu construire un ensemble dont le cardinal est supérieur à R (un ensemble palpable et compréhensible autre que E)

[gg0]

Manifestement, tu as compris de travers ...

Pour tout ensemble (*), l'ensemble de ses sous-ensembles (de ses "parties") est de cardinal strictement plus grand que celui de .
Donc pour , on est sûr que l'ensemble de ses parties est de cardinal supérieur à celui de . C'est tout ! Et est parfaitement défini, on connaît tous ses éléments, même si, comme pour tout ensemble infini, on ne peut pas lister ces éléments.
Il y a bien d'autres ensembles dont le cardinal est supérieur à celui de , on les rencontre en faisant des maths de niveau post bac, par exemple l'ensemble des applications de dans .

Je ne sais pas trop ce que peut vouloir dire "un ensemble palpable et compréhensible" dans ce contexte. Même le nombre 2 n'est pas particulièrement "palpable".

Et tu parles toujours dans le vague, alors que ces questions peuvent s'étudier seul (je l'ai fait dans mon jeune temps) en prenant les ouvrages de maths sur le sujet, et en évitant de rajouter des significations qui ne sont pas dans le définitions et axiomes utilisés. Une remarque aussi, en référence à un post précédent : Ce n'est pas de la "science ludique", c'est une question assez basique de science mathématique.

Cordialement.

(*) E est une lettre, souvent utilisée pour nommer un ensemble non précisé, comme on utilise n pour un entier, ou x pour un nombre.

[Médiat]

Bonjour,

Et est parfaitement défini, on connaît tous ses éléments, même si, comme pour tout ensemble infini, on ne peut pas lister ces éléments.

Parfaitement défini, oui ; on connaît ses éléments, là je ne peux que dire non, c'est beaucoup plus complexe (et plus subtil que cela)

[invitedf3b174e]

alors que ces questions peuvent s'étudier seul (je l'ai fait dans mon jeune temps) en prenant les ouvrages de maths sur le sujet.

un peu de patience gg0 je ne suis plus en jeune temps,
merci à futurascience ou je trouve qu'il y a des gens qui ont déja faits des recherches similaires qu'il me faudra des semaines pour trouver.

[gg0]

D'accord, Médiat,

mais je ne voulais pas compliquer pour Iharmed, les éléments de P(E) sont parfaitement définis au sens où ce sont des parties de E et seulement des parties de E et toutes les parties de E. Ce qui ne veut pas dire qu'il soit facile, pour un ensemble donné d'être certain qu'il est ou non une partie de E.

Cordialement.

[Médiat]

ce sont des parties de E et seulement des parties de E et toutes les parties de E.

Le problème est dans la signification de ce "toutes" (qui est lié à l'hypothèse du continu)

Cordialement

[gg0]

Désolé, là je ne suis plus.

Toutes les parties de E sont dans P(E), HC ou pas. Sinon, ce n'est pas P(E). Le statut de cardinalité d'une partie de P(E) est autre chose.

Cordialement.

[Médiat]

Toutes les parties de E sont dans P(E)

Toute la difficulté est là : que veut dire (mathématiquement) "Toutes" dans cette phrase ?

[gg0]

N'est-ce pas quasiment la définition de l'ensemble des parties ?

C'est bizarre, on définit très au départ de la théorie des ensembles l'ensemble des parties, serait-il donc mal défini ?

[gg0]

A moins que tu veuilles dire qu'une partie d'un ensemble pourrait ne pas être un ensemble. Mais alors, c'est quoi, une partie ?
Rappel : partie= sous-ensemble. La théorie ZFC est-elle si mal foutue qu'un sous-ensemble pourrait ne pas être un ensemble ?

[Médiat]

Oui, mais où sont pris les A ? Que signifie pour tout A, où sont-ils pris (regardez ma remarque à Superbenji, message #32) ?

Quels axiomes utilisez vous pour dire que toutes (au sens usuel de toutes) les parties de E sont dans P(E) ?, Pour les parties à deux éléments, c'est facile, mais pour "toutes" …

L'ensemble des parties est parfaitement défini (ne vous inquiétez pas ), par contre il est souvent mal compris (voilà un bel exemple où l'intuition est un frein à la compréhension)

[Médiat]

A moins que tu veuilles dire qu'une partie d'un ensemble pourrait ne pas être un ensemble. Mais alors, c'est quoi, une partie ?

Oui, c'est bien le sens de mon message #32, une partie au sens intuitif n'est pas forcément une partie au sens mathématique ; une partie, c'est un ensemble qui est un sous-ensemble

La théorie ZFC est-elle si mal foutue qu'un sous-ensemble pourrait ne pas être un ensemble ?

Personnellement je la trouve très bien roulée , mais si vous pensez qu'avec quelques axiomes (ou schémas) on peut faire correspondre le "toutes" du langage courant et le "toutes" mathématiques, vous risquez de devenir célèbre (désolé, mais si j'en crois votre profil, pour vous aussi, la médaille Fields, c'est foutu )

[Superbenji]

Bonjour,
Je tente mon interprétation...
C'est parce que le concept de "Tout" est, sans plus de précision, un concept flou. Si par exemple on considère "Toutes" les parties de N, comme quelque chose de fixé et sans ambiguïté c'est que:
- Soit on s'est placé dans un modèle choisi et dans lequel on raisonne.
- Soit parce qu'on adopte une vision plus ou moins platoniste des mathématiques et qu'il y a "une réalité" d'un objet P(N).

Puisque qu'on peut construire des modèles ayant un ensemble P(N) différent de l'un à l'autre, comme vu plus haut avec la méthode du forcing par exemple, d'un point de vue plus formaliste, "Tout", sans préciser un modèle, n'a pas de sens.

[Médiat]

Bonsoir,

Oui c'est correct, "Tout" n'a de signification que par rapport à un (ou des) ensemble, voir à ce sujet les schémas d'axiomes de remplacement (ou de compréhension qui est plus simple)

[gg0]

Donc finalement, Iharmed a raison.
Et comme de plus, il existe des modèles différents de chaque ensemble infini, même quand on parle d'un ensemble infini, on ne sait pas de quoi on parle ...

Pour ma part, je me serais contenté, à la place de ce que j'ai écrit (puisque vous contestez le ) de :

Et c'est ma traduction de la phrase intuitive que j'ai donnée au message #45.

Maintenant, si ça n'a pas de sens pour les logiciens (*), tant pis, les mathématiques se sont développées largement sans eux, et ce ne sera pour moi qu'un défaut des fondements logiques des maths, qui ne remet pas en cause tout ce qu'on fait ailleurs. Vous avez du boulot, les gars, pour redonner des fondations solides à ce qui s'est fait en maths depuis 25 siècles.

Cordialement.

(*) Par exemple parce que n'est pas défini si on ne sait pas dans quel modèle on est, ou autre argument de ce genre.

[invitedf3b174e]

Donc finalement, Iharmed a raison.
Et comme de plus, il existe des modèles différents de chaque ensemble infini, même quand on parle d'un ensemble infini, on ne sait pas de quoi on parle ...

Pour ma part, je me serais contenté, à la place de ce que j'ai écrit (puisque vous contestez le ) de :

Et c'est ma traduction de la phrase intuitive que j'ai donnée au message #45.

Maintenant, si ça n'a pas de sens pour les logiciens (*), tant pis, les mathématiques se sont développées largement sans eux, et ce ne sera pour moi qu'un défaut des fondements logiques des maths, qui ne remet pas en cause tout ce qu'on fait ailleurs. Vous avez du boulot, les gars, pour redonner des fondations solides à ce qui s'est fait en maths depuis 25 siècles.

Cordialement.

(*) Par exemple parce que n'est pas défini si on ne sait pas dans quel modèle on est, ou autre argument de ce genre.

Waw
Personnellement j'ai dis de placer dans science ludique
Mélange intuition et rigueur ne fait de mal à personne

[Médiat]

Pour ma part, je me serais contenté, à la place de ce que j'ai écrit (puisque vous contestez le ) de :

Je ne conteste pas le , je ne sais pas ce qu'il veut dire, ou plutôt je sais qu'il ne veut pas dire ce que dicte l'intuition.

L'inclusion comme l'ensemble des parties sont parfaitement définis


https://forums.futura-sciences.com/e...ensembles.html

Maintenant, si ça n'a pas de sens pour les logiciens (*), tant pis, les mathématiques se sont développées largement sans eux, et ce ne sera pour moi qu'un défaut des fondements logiques des maths, qui ne remet pas en cause tout ce qu'on fait ailleurs. Vous avez du boulot, les gars, pour redonner des fondations solides à ce qui s'est fait en maths depuis 25 siècles.

Moi j'aime bien comprendre comment fonctionne ma science favorite, mais si cela ne vous intéresse pas, c'est votre droit, et si la question posée crée des difficultés c'est que la question était indispensable ; il ne suffit pas de dire "à partir de maintenant "tout" voudra dire ce que j'ai envie qu'il dise" pour que ce soit le cas et que ce soit partagé par toute la communauté

[invite23cdddab]

Pour ma part, je me serais contenté, à la place de ce que j'ai écrit (puisque vous contestez le ) de :

Et c'est ma traduction de la phrase intuitive que j'ai donnée au message #45.

Déjà, ça serait plutôt un . Mais ensuite, si ne te pose pas de problèmes, est-ce que

t'en pose?

Pourquoi P(E) serait bien un ensemble mais pas B?

[gg0]

Bonjour Tryss2.

"Déjà, ça serait plutôt un ." Heu ... c'est moi qui traduis ma phrase. Si tu changes la traduction, tu changes le sens de ce que je voulais dire. Revois ce que je disais.

"est-ce que t'en pose?" Oui. Je ne sais pas pourquoi on écrirait ça. Dans une acception classique de l'appartenance, le premier terme est toujours vrai, et comme je ne sais pas qui est B, l'équivalence n'a pas de sens. mais peut-être voulais-tu écrire autre chose ?

Et je te rappelle que dans toute la discussion, j'ai supposé que pour un ensemble E, l'ensemble est bien défini. C'est en fait Médiat qui a rappelé que pour lui, il n'est pas défini au point qu'on puisse écrire . Je le comprends donc comme "la théorie des ensembles ne définit pas suffisamment l'ensemble des parties pour que l'inclusion d'un (?? d'une classe ? d'une collection ? je n'ose pas dire ensemble, on va me dire que le problème est là) assure qu'il en est un élément". Pour assurer qu'en prenant une collection d'éléments dans un ensemble, ça puisse former une partie (pour moi, le statut de A était indiqué par son inclusion dans E).

A ce niveau de manque d'intuition, je préfère me rabattre sur mes calculs habituels, même si leurs fondements sont flous.

Cordialement.

[Médiat]

le premier terme est toujours vrai

Non, ceci est faux

Et je te rappelle que dans toute la discussion, j'ai supposé que pour un ensemble E, l'ensemble est bien défini. C'est en fait Médiat qui a rappelé que pour lui, il n'est pas défini

Non, je l'ai même écrit P(E) est parfaitement défini, même si cela ne correspond pas à l'intuition

Essayez de citer (avec une définition mathématique, compatible avec ZF) un seul sous-ensemble de IN qui pourrait vous manquer s'il n'existait pas dans un modèle ou un autre

A tout hasard, ceci soulève des questions épistémologiques qui permettent de mieux comprendre ce que veut dire "faire des mathématiques"