Peut-on faire des mathématiques sans la théorie des ensembles ?

[Médiat]

La vraie réflexion qui m'anime est mieux illustrée par les questions suivantes que par le titre volontairement provocant :

1) Peut-on faire des mathématiques hors de tout cadre les formalisant (Théorie des ensembles telle ZF, théorie des catégories ...) ?
2) Doit-on faire des mathématiques dans un cadre les formalisant ?
3) Vaut-il mieux faire des mathématiques dans un cadre les formalisant ?
4) Fait-on de "meilleures" mathématiques dans un cadre les formalisant ?
5) Fait-on des mathématiques différentes hors de tout cadre les formalisant et dans un de ces cadres ?

J’ai mis "meilleures" entre guillemets pour laisser la plus libre interprétation possible à ce mot (plus efficaces, plus convaincantes, plus élégantes, plus simples, plus générales, etc. (à chacun d’y mettre le sens qui l’intéresse le plus avant de réagir))
Je pense qu'il est assez raisonnable de répondre "Oui" à la première question et "Non" à la deuxième (les contradicteurs sont les bienvenus).
Par la suite je ne parlerai que de ZF (donc, logique classique du premier ordre) comme cadre dans la mesure où mes connaissances de la théorie des catégories et en particulier de la logique catégorique ne me permettent pas de me positionner de façon suffisamment argumentée.
Les questions 3 et 4 sont plus polémiques (mais pas forcément plus intéressantes surtout si un esprit « de chapelle » contraint les réponses).
Pour ne pas me dérober à la polémique, je répondrais donc « Cela dépend » à la question 3, ce qui est justifié par ma réponse à la question 4 : « Oui et Non » ; pour développer, je dirais que faire des mathématiques dans le cadre de ZF permet de faire des mathématiques plus convaincantes quant à leur légitimité (d’où le « Oui »), mais moins simples et moins efficaces (d’où le « Non »).
Pour la question 5, je ne crois pas très polémique de répondre « Oui », mais ce qui m’intéresse ici, ce sont les implications épistémologique de ce « Oui ».
Pour illustrer cette question je crois préférable de donner quelques exemples (désolé pour l’aspect trop mathématique, mais je ne vois pas comment l’éviter), et je commence par le théorème de Cantor (un ensemble et l’ensemble de ses parties ne sont pas équipotents (il n’existe pas de bijection entre les deux)).
On pourrait me faire remarquer que je biaise le débat en choisissant un théorème très lié à la théorie des ensembles, mais ce choix est justifié par deux remarques :
1. Si j’avais choisi, par exemple, un théorème d’analyse, il aurait fallu, pour faire une comparaison, que je justifie la définition de l’analyse dans le cadre de ZF avant même de parler d’un théorème particulier, ce qui nous aurait entraîné sans doute un peu trop loin.
2. Le théorème de Cantor est bien utilisé hors du cadre de ZF, ne serait-ce que pour dire que n’est pas équipotent à , et autres exemples avec les ensembles (collections) utilisé(e)s par les mathématiciens classiques (je veux dire hors ZF dans leur pratique).

Théorème de Cantor : une démonstration par l’absurde, hors théorie des ensembles, pourrait commencer par (dans la phrase suivante, le mot ensemble doit être pris dans le sens de collection et non comme objet de ZF, bien sûr, mais je garde ce vocabulaire, puisque c’est celui usuellement adopté).
Pour tout ensemble E, il existe une bijection de E dans l’ensemble des applications de E dans {0, 1} …
La même démonstration dans le cadre de ZF pourrait commencer par
…
Différences notables :
Que veut dire « pour tout ensemble E » vs ?
« pour tout ensemble E » : cette phrase signifie que pour toute collection que l’on me présentera (ou que je peux imaginer) je serai capable de continuer la démonstration (avec ma casquette de mathématicien ne se préoccupant pas de ZF, « tous les ensembles » ne peut vouloir dire que « tous les ensembles dont je me sers »).
signifie de façon beaucoup plus précise « pour tous les objets de la théorie ZF ».

Que veut dire « Il existe une bijection … » vs
« Il existe une bijection … » : j’avoue que j’éprouve une certain difficulté à expliciter ce « Il existe », autant il est facile de dire ce qu’est une bijection entre une collection E et une collection F, autant dire « Il existe » pose plus de problèmes, si on parle d’un objet, on ne sait pas où il « vit », si on parle d’une construction, est-ce qu’on ne risque pas de se contraindre aux mathématiques constructives ?
signifie, là encore de façon plus précise « il existe un objet de ZF qui appartient à l’objet de ZF qui contient les objets de ZF qui sont des bijections de x dans z (notions définissable dans ZF cf. infra à propos de de l’objet de ZF noté x vers l’objet de ZF noté z ». Effectivement c’est plus précis, c’est aussi beaucoup plus tordu (on pourrait même dire : inutilement compliqué).

Que veut dire « Ensemble (ou collection) des applications … » vs
« Ensemble (ou collection) des applications … » : que dire de plus ?
: C’est l’objet de ZF qui contient exactement les applications (notion définissable dans ZF) de l’objet de ZF x vers l’objet de ZF {0, 1} (qui est aussi ). Cette définition est clairement plus précise que la précédente, cependant elle mérite quelques remarques (j’aurais pu faire les mêmes à propos de Bij(x , y)).

Μηδείς Αγεωμέτρητος Εισίτω
(Cette partie est destinée aux mathématiciens qui ne sont pas des spécialistes de ZF (ce qui suit serait trivial pour eux), et à ceux qui, sans être mathématicien, ne sont pas découragés par l’aspect un peu rébarbatif de certaines démonstrations)

 Cliquez pour afficher

Je vais définir complètement le produit cartésien de deux ensembles, puisque c’est la première étape pour démontrer que les applications d’un ensemble dans un autre est bien un ensemble (puis que les bijections d’un ensemble dans un autre est bien un ensemble).
Attention à ne pas conclure trop rapidement qu’une démonstration dans la cadre de ZF est affreusement plus compliquée qu’une démonstration hors de ce cadre ; ce qui risque de donner cette impression c’est que je reviens aux axiomes pour tout démontrer, ce que l’on ne fait pas à chaque fois, bien sur ; l’aspect qui m’intéresse ici c’est de montrer quelles questions on est obligé de se poser dans le cadre de ZF, alors que ces questions sont du domaine du non-dit hors de ce cadre, ce qui me permettra de répondre en toute connaissance de cause à la question « fait-on des mathématiques différentes ou meilleures » dans le cadre de ZF.
Définition : soit x et y deux ensembles, le couple noté (x, y) est égal à {{x}, {x, y}}. On peut noter que {x, y} existe grâce à l’axiome de la paire, que {x} existe grâce à l’axiome de la paire, et enfin {{x}, {x, y}} existe grâce à l’axiome de la paire.

Le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l’ensemble des couples (x, y) où et , ceci n’est pour l’instant qu’une définition, mais rien ne dit que ce produit cartésien existe toujours, en fait il faut le démontrer.

Si alors et (par définition de l’ensemble des parties), et donc .

On peut donc, maintenant, définir le produit cartésien :


Ayant pu contraindre les éléments z à un ensemble, la définition ci-dessus définit bien un ensemble (schéma d’axiome de compréhension).

Dans la partie cachée ci-dessus j’ai eu à utiliser l’ensemble des parties d’un ensemble, notion qui, là encore, peut être intéressante hors de ZF (que soit isomorphe à , peut concerner tous ceux qui utilisent ces deux ensembles (collections)).

Définition de Wikipedia :
En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.

Ou encore : Dans ZF la même définition devient :

Définition de Wikipedia :
Axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de E.
On sent déjà une légère différence dans l’affirmation « il existe un ensemble », mais écrit formellement c’est encore plus criant :
dans cette formule c’est y qui est l’ensemble des parties de x (z est un sous ensemble de x et t un élément de z (donc de x)).

La grosse différence c’est que dans cette formule il est « clairement » dit (pour l’œil accoutumé, je le reconnais) ce qu’est z (alors que l’on ne dit rien de A dans la première définition) : z est un ensemble, c’est à dire qu’il doit exister en tant qu’ensemble préalablement à sa reconnaissance en tant que partie de x, autrement dit l’ensemble des parties de x ne concerne que les parties (au sens de la première définition) qui sont des ensembles, et rien ne garantit dans ZF que « toutes les parties » au sens de la première définition veuille dire la même chose que « toutes les parties » au sens de la deuxième, puisque dans ce cas on ne considère que les parties qui sont des ensembles.

La grosse différence épistémologique est donc dans la signification (interprétation) de « toutes » lorsque l’on dit « l’ensemble de toutes les parties … ». Si je dis que cette différence est épistémologique c’est que les théorèmes sont les mêmes, seules leurs compréhensions sont légèrement différentes.

Cette différence est la raison pour laquelle il m’est arrivé quelque fois de réagir devant l’expression « même nombre d’éléments » pour des ensembles infinis.

Autrement dit : dans tout modèle de ZF il est possible trouver un objet qui ressemble beaucoup à l’ensemble des entiers naturels utilisé par les mathématiciens (l’ordinal ), mais dans ce même modèle on peut aussi trouver un objet fabriqué à partir de , en en prenant « Toutes les parties » (c’est un axiome de ZF), de la même façon que l’on peut construire à partir de , sauf que « Toutes les parties » dans ZF veut dire « Toutes les parties qui sont des ensembles », subtilité qui n’a évidemment pas cours hors de ZF, on peut même avoir un modèle dans lequel l’ensemble des parties de (qui est forcément de cardinal dans ce modèle) soit de même cardinal que vu de l’extérieur (ce résultat, connu sous le nom de paradoxe de Skolem, est une conséquence immédiate du théorème de Löwenheim-Skolem).

Théorème de Goodstein : cet énoncé est indécidable dans l’arithmétique de Peano, alors que c’est un théorème de ZF (pour les ordinaux). Je ne donne cet exemple que pour dire … que ce n’est pas un exemple, en effet cela ne montre pas que ZF est « meilleur », mais simplement plus « complet » sur ce point, cependant on aurait eu le même résultat en considérant la théorie Péano {théorème de Goodstein}.
Ce qui suit n’est qu’une analogie (à destination des non-mathématiciens (la partie en gras)) :

Il me semble que l’on peut faire une analogie (avec le même genre de non-dits et donc les mêmes questions) entre l’arithmétique de Robinson (arithmétique de Peano sans le schéma de récurrence) et l’exemple de la démonstration du théorème de Cantor : dans cette arithmétique, pour tout n et pour tout m on peut démontrer que , mais on ne peut pas démontrer que .

Si un modérateur pense que ce fil serait mieux dans le forum « Débats scientifiques », je ne vois aucun inconvénient à le transférer.
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[invite6eb1b431]

D'aprés ce que je crois savoir,

La théorie des ensembles est un moyen qui a été mis en œuvre garantir la cohérence logique de l'édifice mathématique. En construisant des ensembles à partir d'autres ensembles bien définis. On parvient à s'assurer de la cohérence des raisonnements. Le but étant d'éviter les paradoxes...
Du point de vue de la solidité des raisonnements, la théorie des ensembles offre certainement de grands avantages.
Cependant par sa lourdeur démonstrative, elle peut peut-être être un frein à des raisonnements plus intuitifs...
Là je m'aventure, car je ne suis pas du tout mathématicien...

Ne peut-on dire qu'on peut faire des mathématiques à partir de "Tout ensemble d'axiomes clairements définis" ?

Cordialement,
Korzibsk

[invité576543]

Bonjour,

A quel sens doit-on comprendre le mot "on" dans les questions? Un humain quelconque, l'humanité dans son ensemble, autre chose?

A quel sens doit-on prendre le verbe "faire" dans les questions? Par exemple, est-ce quelqu'un qui compte des moutons "fait" des mathématiques? Plus généralement, est-ce qu'utiliser des résultats mathématiques pour faire des prédictions physiques entre dans la catégorie "faire des mathématiques"(aussi bien "j'avais 10 moutons, j'en compte 9, il y en a donc un qui s'est échappé, prédis qu'en le cherchant il est vraisemblable que je le trouverai" que l'utilisation de la physique quantique pour prédire le spectre d'émission d'une molécule) ?

Je vois deux extrêmes comme cadre interprétatif des questions:

a) N'importe quel humain utilisant un langage que l'on associe aux mathématiques, ne serait-ce que les nombres entiers.

b) L'ensemble des mathématiciens humains faisant progresser les connaissances de l'humanité en mathématiques, en particulier dans le cadre de la construction consensuelle de la liste des théorèmes considérés démontrés.

Est-ce que les réponses peuvent être les mêmes dans les deux cas et tout ce qu'on peut imaginer entre?

Cordialement,

[Médiat]

Ne peut-on dire qu'on peut faire des mathématiques à partir de "Tout ensemble d'axiomes clairements définis" ?

J'ai peur que tu confondes méthode axiomatique et "théorie axiomatique des ensembles comme cadre pour les mathématiques".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6eb1b431]

J'ai peur que tu confondes méthode axiomatique et "théorie axiomatique des ensembles comme cadre pour les mathématiques".

Ce que je veux dire, c'est que les mathématiques existaient avant la théorie des ensembles.
Mais que la théorie des ensembles à permis de trouver des structures de fond communes à différentes disciplines mathématiques.
Je pense aussi que ce qui initie le développement des mathématiques, et la résolution de certains problèmes.

Tout d'abord, on ne saurait toutefois suspecter Bourbaki d'« hypostasier » les structures, car le collectif de mathématiciens est conscient que cette notion correspond seulement à une méthode d'exposition, sans engager pour autant la « nature profonde » des mathématiques. Il reconnaît ainsi le caractère « artificiel [de] ce principe de classification dès que s'enchevêtrent les structures[10] », et ne l'utilise que comme un moyen d'exposition.

En outre, dans l'article L'Architecture des mathématiques, Bourbaki avoue trois inconvénients de cette théorie des structures : « elle est à la fois schématique, idéalisée et figée[11]. » Schématique, car dans le détail il existe « d'inattendus retours en arrière[12] », comme l'intervention des nombres réels pour fonder la topologie. Idéalisée, car « dans certaines théories (par exemple en Théorie des Nombres), il subsiste de très nombreux résultats isolés qu'on ne sait jusqu'ici classer ni relier de façon satisfaisante à des structures connues[13] » Et figée, car les structures ne sont pas « immuables », et peuvent se prêter à des inventions ou reformulations futures[14].

Les précautions dont fait preuve Bourbaki montrent qu'il ne saurait être accusé d'avoir essayé de « geler » ou de rigidifier la recherche mathématique, comme on le lui a parfois reproché.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Structu...C3%A9matiques)

Mais j'ai peut-être mal compris la question...Désolé dans ce cas !

Cordialement,

Korzibsk

[invite7863222222222]

Bonjour,

je me demande si la question n'est pas du liée à la différence entre "ce que l'on peut imaginer" et "ce que l'on imagine".

Je vois les choses comme cela : sans préciser ce qu'est A dans les P(A), je ne vois pas en A un "objet mathématique", mais un "objet mathématique que l'on pourrait imaginer" et dans P(x), je vois effectivement en x un objet mathématique que l'on a défini.

Donc je ne peux même pas m'imaginer me demander ce que peut signifier P(A) sans avoir réussi à définir un nouvel objet A, avant (donc je répond plutôt oui à la question 3).

[invite6eb1b431]

Remarque :

Il me semble intéressant aussi de faire remarquer historiquement la théorie des ensembles a pris son essor à une époque ou existait l'espoir d'une axiomatisation complète des mathématiques...

Espoir plus tard déçu par les découvertes de Gödel.

[invite7863222222222]

Donc je ne peux même pas m'imaginer me demander ce que peut signifier P(A) sans avoir réussi à définir un nouvel objet A, avant (donc je répond plutôt oui à la question 3).

Je me corrige :

Donc je ne peux même pas m'imaginer me demander ce que peut signifier P(A) sans avoir une idée de ce que pourrait être ce nouvel objet A, avant (donc je répond plutôt oui à la question 3).

[Médiat]

Remarque :

Il me semble intéressant aussi de faire remarquer historiquement la théorie des ensembles a pris son essor à une époque ou existait l'espoir d'une axiomatisation complète des mathématiques...

Espoir plus tard déçu par les découvertes de Gödel.

Je crois qu'il s'agit d'une interprétation abusive du théorème de Gödel, l'espoir (?) qu'il a brisé, c'est celui de pouvoir tout dire de toutes les théories (classique du premier ordre récursivement axiomatisable) mais cela n'empêche pas d'axiomatiser les mathématiques à un moment donné ; je sais qu'un platonicien détesterait ce que vais ajouter, mais tant pis () : l'idée de parler de "toutes les mathématiques" ne peut concerner que les mathématiques existantes et non toutes les mathématiques potentielles, expression, qui, pour moi, n'a pas de sens.

[Médiat]

Donc je ne peux même pas m'imaginer me demander ce que peut signifier P(A) sans avoir une idée de ce que pourrait être ce nouvel objet A, avant (donc je répond plutôt oui à la question 3).

On devrait sentir dans ma présentation que je penche aussi de ce côté là, mais je ne peux oublier la complexité (ne serait-ce qu'au niveau conceptuel, puisque ZF nous contraint à conceptualiser des choses qui hors ZF peuvent être "oublié", ne serait-ce que l'exemple que tu donnes, d'ailleurs) que cela induit, d'où mes précautions oratoires, et surtout l'envie de ne pas imposer cette façon de faire des maths.

[invite7863222222222]

On devrait sentir dans ma présentation que je penche aussi de ce côté là, mais je ne peux oublier la complexité (ne serait-ce qu'au niveau conceptuel, puisque ZF nous contraint à conceptualiser des choses qui hors ZF peuvent être "oublié", ne serait-ce que l'exemple que tu donnes, d'ailleurs) que cela induit, d'où mes précautions oratoires, et surtout l'envie de ne pas imposer cette façon de faire des maths.

Est-ce qu'on peut dire donc que la formalisation dans ZF montre que ce à quoi on pense quand on fait des mathématiques est complexe ? J'ai du mal (ou je préfère rester simple plutôt) à m'y retrouver là dedans mais c'est peut-être le cas.

[Médiat]

Est-ce qu'on peut dire donc que la formalisation dans ZF montre que ce à quoi on pense quand on fait des mathématiques est complexe ? J'ai du mal (ou je préfère rester simple plutôt) à m'y retrouver là dedans mais c'est peut-être le cas.

Oui, c'est une formulation qui me va bien, en ajoutant que bien souvent le problème vient plus de ce à quoi on ne pense pas plutôt qu'à ce qu'on pense (par exemple que veut dire "Toutes les parties de E").
Mais ce qu'il ne faut pas oublier, pour être honnête, c'est que se poser la question, et même y répondre, n'apporte pas forcément grand-chose aux mathématiciens qui travaillent hors ZF.

[Médiat]

Ce que je veux dire, c'est que les mathématiques existaient avant la théorie des ensembles.

Bien sûr, et cette seule remarque justifie mon "Oui" à la première question (ou il faudrait affirmer que tout ce qui a été fait hors ZF et en particulier avant ZF, ne sont pas des mathématiques, et je ne suis pas près à dire cela).

Mais que la théorie des ensembles à permis de trouver des structures de fond communes à différentes disciplines mathématiques.

Ce n'est pas tout à fait juste, la théorie des groupes, par exemple est plus ancienne que la théorie des ensembles.

Je pense aussi que ce qui initie le développement des mathématiques, et la résolution de certains problèmes.

Désolé, mais je n'ai pas compris ...

[invite0fb72cf8]

D'après ma compréhension des choses, la théorie des ensembles a été introduite pour pouvoir statuer sur le cas de certains monstres mathématiques. En gros, au 19ème siècle, les mathématiciens ont introduits des tas de notions relativement intuitives: fonction, ensemble, continuité, infini ..., et ils ont commencé à se rendre compte qu'en poussant ces notions dans leurs retranchements, des objets étranges commençaient à apparaitre (courbes continues croissante et constante presque partout, ensembles non mesurables etc...).

Pour s'en sortir, les mathématiciens ont fait ce qu'ils ont toujours fait: ils ont commencé à formaliser le problème, à poser des axiomes et à en déduire des conséquences. D'où la naissance de la théorie des ensembles qui permet d'expliquer et de définir clairement les notions de fonctions/ensemble qui ne sont finalement pas si intuitives qu'on ne le pensait (avec évidement toutes les remises en question que cela a apporté).

Pour moi, en tant que mathématicien appliqué/physicien dévoyé, c'est à cela que sert la théorie des ensembles: quand on arrive dans les situations où les objets ne se comportent plus de façon intuitive - et les mathématiciens aiment ça, donc ça arrive forcément -, c'est les outils fondamentaux qui te permettent d'y voir clair. Dans les situations plus simples, on sait que l'intuition suffit et qu'on pourrait traduire les résultats en des énoncés plus formels mais c'est inutilement alourdir les choses, et dans situations plus compliquées, c'est la bouée de sauvetage qui nous sauve (ou nous noie )...

Par exemple, si on s'intéresse à la théorie de la mesure, on est clairement obligé un moment où à un autre de s'intéresser aux ensembles non-mesurables. L'existence de ces ensembles étant une conséquence de l'axiome du choix (dans le sens où on ne peut pas prouver l'existence d'ensembles non mesurables dans ZF sans l'axiome du choix, et où on peut prouver leur existence dans ZFC), on arrive donc très vite à s'intéresser à la théorie des ensembles, même si c'est de façon très superficielle.

A+

Ising

[Médiat]

Ooops, je viens de me rendre compte que j'ai été trahi (une fois de plus ) par Latex (en fait j'ai oublié quelques \ devant des { et des }).

Si alors et (par définition de l’ensemble des parties), et donc .

Il fallait lire :

Si alors et (par définition de l’ensemble des parties), et donc .

[invite6eb1b431]

Désolé, mais je n'ai pas compris .

"En mathématique l'art de poser les questions est plus stimulant que celui de les résoudre."

C'est une phrase qu'avait écrite Georg Cantor à la fin d'une dissertation sur la théorie des nombres..

Cordialement,

Korzibsk

[Médiat]

"En mathématique l'art de poser les questions est plus stimulant que celui de les résoudre."

C'est une phrase qu'avait écrite Georg Cantor à la fin d'une dissertation sur la théorie des nombres..

Je ne suis peut-être pas totalement objectif tellement je vénère Cantor, mais j'adore cette citation.

[Médiat]

Bonjour, Désolé de n'avoir pas répondu plus tôt, j'avais bien lu ton intervention, mais je m'étais dit que j'y répondrais plus tard ...

Par exemple, si on s'intéresse à la théorie de la mesure, on est clairement obligé un moment où à un autre de s'intéresser aux ensembles non-mesurables.

Tu as parfaitement raison, la théorie des ensembles a un intérêt direct dans quelques cas et les ensembles non mesurables est un très bon exemple, mais dans cette optique là, je vois mal comment la critiquer ; les questions que j'ai voulu agiter sont plus épistémologiques que mathématiques, par exemple, je ne suis pas certain qu'un mathématicien platonicien voit le moindre intérêt à faire ses mathématiques dans le cadre de ZF,ce qui ne veut pas dire qu'il ne trouve aucun intérêt à cette théorie (si Alain Connes passe par là qu'il n'hésite pas à donner son avis ).

J'aurais pu être plus brutal dans l'expression et demander :
Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien platonicien.
Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien formaliste ne faisant des mathématiques que dans le cadre de ZF.

(Remarque : Je ne sous-entend pas que ce sont les deux seuls cas possibles)

Sauf que si je pose la question de cette façon, les réponses risquent d'être peu différentes dans le cadre d'une théorie donnée (théorie des groupes par exemple), le cas de l'ensemble des parties d'un ensemble est plus intéressant me semble-t-il.

[Matmat]

Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien platonicien.

Pour un platonicien "il existe un objet mathématique" veut dire exactement la meme chose que "il existe un objet réel" ... en disant "il existe" il dit tout simplement qu'il est réel (=indépendant du langage, de l'esprit, de la construction mentale, de l'intuition,de l'idée qu'on s'en fait...) , et même qu'on peut le percevoir! (la seule différence c'est qu'on le perçoit avec "l'esprit" et non les yeux ou les oreilles) .

"Les ensembles peuvent etre conçus comme des objets réels, existant indépendamment de nos définitions et constructions" (Godël)

"Nous avons quelque chose comme une perception également des objets de la théorie des ensembles" (Godël)

Matmat

[Médiat]

Pour un platonicien "il existe un objet mathématique" veut dire exactement la meme chose que "il existe un objet réel" ... en disant "il existe" il dit tout simplement qu'il est réel (=indépendant du langage, de l'esprit, de la construction mentale, de l'intuition,de l'idée qu'on s'en fait...) , et même qu'on peut le percevoir! (la seule différence c'est qu'on le perçoit avec "l'esprit" et non les yeux ou les oreilles) .

Bonjour,

Je me doutais bien que la réponse ressemblerait à cela, puisque c'est à peu près la définition du platonisme, mais que devient la signification profonde (épistémologique) de cette définition dans la phrase "Il existe une fonction de choix ..." puisque l'appel à ce "il existe" est nécessaire quand justement elle n'est pas constructible (concevable ?), or l'axiome du choix est utile, par exemple en théorie de la mesure, pas uniquement dans ZF.

Autrement dit : que veux dire "percevoir" et qu'est-ce que je peux dire de ce que je "perçois" (dans tes phrases) ?

Et la difficulté de l'interprétation de "Pour tout" reste entière, car il me semble aue "Pour tout ce que je perçois" est trop restrictif, et que "Pour tout ce que je pourrais percevoir" n'a pas vraiment de sens.

[invite7863222222222]

Pour un platonicien "il existe un objet mathématique" veut dire exactement la meme chose que "il existe un objet réel"

C'est intéressant cette vision, je ne sais pas si c'est très "platonicien" de dire cela mais si l'objet mathématique existe comme un objet réels cela voudrait dire, que l'on peut toucher du doigt des concepts mathématiques comme l'infini et qu'ils ne seraient pas seulement des concepts propres à notre manière de raisonner ?

[invite0fb72cf8]

... mais que devient la signification profonde (épistémologique) de cette définition dans la phrase "Il existe une fonction de choix ..." puisque l'appel à ce "il existe" est nécessaire quand justement elle n'est pas constructible (concevable ?)

Je crois que pour être platonicien en mathématique de nos jours, il faut envisager l'univers des idées comme un méta-univers. En gros, on a un méta-univers qui est composé de tout les univers possibles, un univers étant un ensemble d'axiomes, avec ses conséquences et ses limites. Pour l'axiome du choix, vu que tu ne sais pas construire en général ta fonction de choix (sinon, on n'aurait pas besoin de l'axiome), tu peux décider de supposer son existence ou pas, et cela te fera deux univers différents dans ton méta-univers. Dans l'univers où tu fait l'AC, la fonction choix existera vraiment, même si tu ne sais pas la construire. Dans l'autre, elle n'existera pas si tu ne sais pas la construire.

A+

Ising

ps: je ne pense pas être platonicien

Si tu te restreint à un seul univers, la vision platonicienne est clairement intenable, évidement.

[Médiat]

Dans l'univers où tu fait l'AC, la fonction choix existera vraiment, même si tu ne sais pas la construire. Dans l'autre, elle n'existera pas si tu ne sais pas la construire.

Mon problème, c'est que là je ne vois pas la différence entre un univers pour un platonicien et un modèle pour un formaliste.



je voudrais ajouter un détail, j'ai écrit :

Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien platonicien.
Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien formaliste ne faisant des mathématiques que dans le cadre de ZF.

Or je ne voudrais pas que l'on croit que j'oppose ZF et Platonicien, j'aurais dû être plus clair et écrire :

Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien platonicien ne travaillant pas dans le cadre de ZF.
Que veulent dire "Il existe" et "Pour tout" pour un mathématicien formaliste ne faisant des mathématiques que dans le cadre de ZF.

[invite0fb72cf8]

Mon problème, c'est que là je ne vois pas la différence entre un univers pour un platonicien et un modèle pour un formaliste.

C'est assez délicat comme question, et c'est pour cela que je pense qu'être platonicien est une position très inconfortable. En gros, soit le platonicien admet qu'il existe un unique univers mathématique 'réel' qui contient toutes les propositions vraies, mais à cause du théorème de Gödel, cet univers n'est pas totalement accessible à nos esprits limités. Cette solution est vraiment insatisfaisante, parce que rien ne dit comment ajouter ou rejeter des axiomes. Qu'est ce qui nous permet d'affirmer que l'axiome du choix ou l'hypothèse du continu soient vraies ou fausses dans cet hypothétique monde des idées ? L'expérience ?

Un autre problème peut également apparaitre, et cela mènera en fait à l'autre façon d'être platonicien, c'est le statut des méta-théorèmes. Ces théorèmes appartiennent-ils au monde des idées ou pas ? Si oui, cela veut dire qu'ils décrivent des structures qui appartiennent aussi aux mondes des idées, et qu'on doit donc affirmer que tout les modèles appartiennent au monde des idées. D'où cette interprétation en terme de méta-univers. Effectivement, pratiquement, ça devient très proche du formaliste, mais le platonisme a toujours été quelque chose de suffisamment flou (l'existence d'un monde des idées ? Dans quel sens 'exister' ? ) pour s'accorder à toutes les réalités c'est pourquoi je n'accorde pas beaucoup de crédit à cette façon de voir les choses.

A+

Ising

[invite6eb1b431]

Je crois qu'il s'agit d'une interprétation abusive du théorème de Gödel, l'espoir (?) qu'il a brisé, c'est celui de pouvoir tout dire de toutes les théories (classique du premier ordre récursivement axiomatisable) mais cela n'empêche pas d'axiomatiser les mathématiques à un moment donné .

En fait si j'ai bien compris l'"espoir" du programme Hilbert, n'était pas de pouvoir tout dire de toutes les théories. Mais de définir des principes fondamentaux, à partir desquels les mathématiques se développent.

Cordialement,

Korzibsk

[Matmat]

Le réalisme mathématiques est au départ complétement indépendant du problème des propositions indémontrables ou des objets inconstructibles: d'ailleurs ce n'est pas vraiment les platoniciens qui réservent "il existe" seulement aux objets mathématiques que l'on peut construire et "vraies" aux propositions que l'on peut atteindre par démonstration valide pour un constructiviste ... C'est plutot les constructivistes et les intuitionnistes ...
Mais les arguments platoniciens ont évolué, si on prend pour exemple Roger Penrose par exemple, maintenant les platoniciens vont souvent "argumenter" leur position philosophique justement par le fait qu'il y a des indémontrables, ils vont justifier la réalité mathématique justement parce que il y a des objets mathématiques qui peuvent etre dans un modèle sans etre constructibles , pour ces platoniciens là: non seulement tout objet non contradictoire PEUT exister mais surtout certains (*) DOIVENT NECESSAIREMENT EXISTER puisque c'est leurs non constructibilités qui prouve précisément que ce n'est pas notre esprit qui l'a construit ! En résumé, pour eux, les objets non constructibles prouvent qu'il y a des objets mathématiques indépendants de notre esprit, s'ils sont "donc" indépendants de notre esprit ils sont "donc" réels... ils existent "donc" objectivement.

(*) Tout en admettant l'impossibilité de savoir lesquels , ça n'empêche pas .

Matmat

[invite7863222222222]

Non moi je comprends pas cette façon de penser, tout cela se passe dans notre tête, pourquoi sortir de ce contexte ?

[Médiat]

En fait si j'ai bien compris l'"espoir" du programme Hilbert, n'était pas de pouvoir tout dire de toutes les théories. Mais de définir des principes fondamentaux, à partir desquels les mathématiques se développent.

Ce qui n'est pas le domaine du théorème de Gödel qui dit :

Pour la logique usuelle (classique du premier ordre), il n'existe pas de théorie qui soit :
1) Assez simple (récursivement axiomatisable)
2) Assez compliquée (pour formaliser l'arithmétique)
3) Complète (sans proposition indécidable

[invite6eb1b431]

Merci pour ces précisions...

Faut-il en déduire qu'on a voulu faire dire au théorèmes de Gödel, plus qu'il ne pouvait on dire ?

Y a-t-il selon vous, quelques aspects généralisables dans ces théorèmes qui caractérisent la pensée elle-même?

Car il est très fréquent de trouver ce type de généralisation...

Cordialement,

Korzibsk

[Médiat]

Faut-il en déduire qu'on a voulu faire dire au théorèmes de Gödel, plus qu'il ne pouvait on dire ?

Oui, et je mène une guerre personnelle contre l'usage abusif du théorème de Gödel (et ai proposé d'attribuer des "points Gödel" sur ce forum sur le modèle du point Godwin). Je milite aussi pour la promotion du théorème de complétude de Gödel, que je trouve beaucoup plus important.

Il existe plusieurs sites sur le net où on peut trouver certains de ces abus, on peut en lire quelques-un dans : http://forums.futura-sciences.com/ma...html?p=1980944 (page 18).

Y a-t-il selon vous, quelques aspects généralisables dans ces théorèmes qui caractérisent la pensée elle-même?

Selon moi : NON !
Avant de pouvoir appliquer le théorème de Gödel à la pensée humaine, il faudrait d'abord monter que celle-ci est un système formel (ou en tout cas formalisable), que ce système est classique du premier ordre, qu'il est récursivement axiomatisable, et qu'il peut formaliser l'arithmétique, à part ce dernier point, je ne suis convaincu d'aucun des autres.
Je suis au moins d'accord sur ce point avec Penrose (qui par ailleurs est platonicien )

Car il est très fréquent de trouver ce type de généralisation

J'ai même vu le théorème de Gödel utilisé pour "démontrer" que le Coran ou la Bible ne sont pas des textes sacrés (on peut en penser ce que l'on veut, mais je ne vois pas ce que ce pov'Gödel vient faire dans cette galère (quoique avec sa pseudo preuve ontologique de l'existence de Dieu, finalement ça fait un point partout )).