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Cardinal d'ensemble infini



  1. #1
    metachaos

    Cardinal d'ensemble infini

    Bonjour,

    Je reviens d'un article sur l'hôtel de Hilbert infini, et suis parti revoir les cours concernant l'infini étant gêné par la manière dont l'expérience de pensée est posée.

    J'ai trouvé notamment une explication que voici :


    "On dit que Card E <= Card F si E a même cardinal qu'une partie de F.
    En particulier, si un ensemble infini E est inclus dans un ensemble
    (infini) F alors Card E <= Card F (inégalité large)."

    Je ne comprends pas bien comment on peut inclure un "ensemble" infini dans un autre "ensemble" infini.


    Pour expliquer d'où vient mon soucis :


    "Card E <= Card F si E a même cardinal qu'une partie de F"

    à mon sens, Si E a même cardinal qu'une partie de F, E est nécessairement fini.

    Autrement, j'ai l'impression que ça signifierait que E est moins infini que F et ça me pose un sérieux problème.


    Est-ce que ]-infini;+infini[ > [0;+infini[ comme peut le laisser entendre notre intuition, et, à ce moment là l'énoncé des cardinaux infinis a du sens (même si je ne suis pas d'accord)
    ou est-ce qu'une nuance que je n'ai pas saisi justifie l'énoncé ?


    Merci


    Sources :

    http://faq.maths.free.fr/texte/faq55.html
    http://www.futura-sciences.com/magaz...-infini-60164/

    -----

    Dernière modification par metachaos ; 23/10/2015 à 13h02.

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  3. #2
    metachaos

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Je ne peux plus éditer du coup j'écris en dessous, désolé :

    EDIT :

    J'ai essayé d'imaginer deux spaghettis représentant deux infinis (donc avec des petits -infini et +infini aux extremités de chaque spaghetti).

    Si je rejoins les deux spaghetti, mon cerveau va automatiquement les joindre par le centre et coller l'extrémité infini des deux.

    Avec ce nouvel éclairage la seule possibilité que mon esprit admet est :

    Tant que les bornes infinies n'ont pas été arrêtée (Card E <= Card F ET Card E => Card F ET Card E == Card F)

    Au moment où les bornes seront arrêtées, l'une des trois proposition sera vraie, pas avant. C'est marrant ça sonne très quantique.


    Dans l'attente de vos lumières !

  4. #3
    joel_5632

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    bonjour

    >> Je ne comprends pas bien comment on peut inclure un "ensemble" infini dans un autre "ensemble" infini.



    >> Autrement, j'ai l'impression que ça signifierait que E est moins infini que F et ça me pose un sérieux problème.

    oui il y a des ensembles infinis plus ou moins "gros"
    par exemple:
    mais:

    > Est-ce que ]-infini;+infini[ > [0;+infini[ comme peut le laisser entendre notre intuition

    non, ces 2 ensembles ont le même cardinal
    Deux ensembles qui peuvent être mis en bijection ont le même cardinal

    PS
    rien compris au 2ème message

  5. #4
    PlaneteF

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Bonjour,

    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    Je ne comprends pas bien comment on peut inclure un "ensemble" infini dans un autre "ensemble" infini.
    Exemple tout simple :


    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    à mon sens, Si E a même cardinal qu'une partie de F, E est nécessairement fini.
    Justement non, ... en prenant le même exemple, on a :


    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    Est-ce que ]-infini;+infini[ > [0;+infini[ comme peut le laisser entendre notre intuition,
    ... Je suppose que tu parles de "cardinal", qui est bien le même pour ces 2 ensembles.


    Cardinalement, ... euuuh je veux dire "cordialement"


    EDIT : Arghhh, devancé, ... ça m'apprendra à perdre du temps à faire un pov' jeu de mot
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2015 à 13h34.

  6. #5
    joel_5632

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    @PlaneteF
    il est bien trouvé ton jeu de mot

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    ... Autre remarque :

    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    (...) comme peut le laisser entendre notre intuition, (...)
    Concernant les ensembles infinis attention

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2015 à 13h49.

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  10. #7
    PlaneteF

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    J'ai essayé d'imaginer deux spaghettis représentant deux infinis (donc avec des petits -infini et +infini aux extremités de chaque spaghetti).

    Si je rejoins les deux spaghetti, mon cerveau va automatiquement les joindre par le centre et coller l'extrémité infini des deux.

    Avec ce nouvel éclairage la seule possibilité que mon esprit admet est :

    Tant que les bornes infinies n'ont pas été arrêtée (Card E <= Card F ET Card E => Card F ET Card E == Card F)

    Au moment où les bornes seront arrêtées, l'une des trois proposition sera vraie, pas avant. C'est marrant ça sonne très quantique.


    Tu peux bien imaginer ce que tu veux, il te faut "capturer" d'une manière ou d'une autre le concept de bijection (à l'instar de l'hôtel de Hilbert), sinon tu risques de baragouiner dans le vide


    Citation Envoyé par metachaos Voir le message
    Avec ce nouvel éclairage (...)
    Pas sûr que le mot "éclairage" soit le bien choisi ici


    Citation Envoyé par joel_5632 Voir le message
    @PlaneteF
    il est bien trouvé ton jeu de mot



    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2015 à 14h14.

  11. #8
    Médiat

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Bonjour,

    L'idée qu'une partie stricte d'un ensemble soit strictement plus petite que l'ensemble est naturelle, et depuis longtemps (principe d'Aristote Fort : la partie stricte est strictement plus petite que le tout) ; malheureusement il existe d'autres principes tout aussi "tentant" qui sont incompatibles entre eux (pour les ensembles infinis).

    Vous pouvez jeter un œil là : http://forums.futura-sciences.com/ma...-ensemble.html
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    metachaos

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Merci pour vos réponses !


    en fait quand vous dites par exemple que N est inclus dans Z, l'inclusion est qualitative pas quantitative.

    le fait que Z possède "en plus" de {0, 1, 2, ...} les entiers négatifs, signifie que N est inclus dans Z qualitativement.

    Mais quantitativement si on prend les 2 ensembles, ils possèdent une "infinité" de nombres et par conséquent, le cardinal de E qui est la somme de toutes ses parties ne peut pas être inférieur au cardinal d'une autre somme infinie, elles semblent nécessairement égales sauf si l'un ou les deux ensembles sont bornées.


    si, comme vous le dites, ]-infini;+infini[ et [0;+infini[ ont le même cardinal,

    Comment la proposition suivante peut être vraie ?

    "si un ensemble infini E est inclus dans un ensemble (infini) F alors Card E <= Card F (inégalité large)."

    L'égalité sera nécessairement stricte étant donnée la cardinalité identique des deux ensembles infinis.

  13. #10
    metachaos

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    "L'idée qu'une partie stricte d'un ensemble soit strictement plus petite que l'ensemble est naturelle"

    le terme "stricte" ne s'applique pas, à mon sens, pour un ensemble infini.

    Vous prolongez un axiome intuitif et vrai lors de la comparaison d'ensembles finis à des ensembles infinis.


    Quel est l'outil qui vous permet de passer de l'un à l'autre en étant sur que le changement de propriété fini/infini n'engendre pas une modification de la logique des ensembles ?


    Merci

  14. #11
    PlaneteF

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Franchement metachaos, je t'invite à lire un cours qui traite des bases de la théorie des ensembles (dans un premier temps 2 heures peuvent suffire) et toutes tes questions trouveront une réponse évidente. Tu parles d' "outil", et bien un des outils qui permet de formaliser tout cela est la notion de bijection (qui est d'ailleurs omniprésente en maths). Maintenant à toi de regarder dans un premier temps les concepts de base en jeu et ensuite tu pourras te poser des questions, .... mais pas l'inverse ! ... Que te dire d'autre ?!

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2015 à 16h11.

  15. #12
    metachaos

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Merci PlaneteF, je vais passer le temps suggérer sur le sujet et revenir ici si j'ai des points d'ombres !

  16. Publicité
  17. #13
    PlaneteF

    Re : Cardinal d'ensemble infini

    Tu peux aller voir par exemple ici : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 23/10/2015 à 16h21.

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