Cardinal ensemble infini

[syborgg]

Ah il faudrait une extension "sauvage" de la notion d'ensemble...

d'une manière générale c'est intéressant de se poser la question de la réciproque d'une certaine construction. Par exemple si x est un nombre on sait calculer son carré. Un jour quelqu'un s'est posé la question de la réciproque de cette fonction pour x = -1 et a découvert un trésor.

de mon côté je m'étais posé la question de trouver l'inverse de la construction du corps des fractions, et plus particulièrement je m'étais demandé si le corps R pouvait être le corps des fractions d'un anneau (qui ne soit pas lui-même, donc pas un corps). J'avais quelques idées (partir d'une base de R comme Q-ev et considérer le Z-module engendré par cette base...) mais je ne suis pas arrivé à les développer.

Les sous groupes additifs de R sont soit des aZ, soit denses dans R. Le premier n'est pas un candidat pour des raisons de cardinalite, Il faudrait etudier les sous anneaux de R dont le groupe additif est dense dans R...
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[invite9dc7b526]

comme je disais je ne suis arrivé à rien. Peut-être que la question est connue d'ailleurs.

[Médiat]

Bonjour,

Et si on prenait ou µ est une base de transcendance de sur ?

[invite9dc7b526]

Le problème avec le groupe additif dense (il faut qu'il soit non-dénombrable) c'est de montrer que l'anneau engendré n'est pas déjà égal à R.

euh, on est un peu hors-sujet là (je sais c'est ma faute)

[slivoc]

Je tente:
peut etre qu' on ne peut pas construire un inverse à la localisation ayant certaines propriété, comme la fonctorialité et le fait d etre adjoint à droite de la localisation: si on note Ring* la catégorie des anneaux unitaires commutatifs intègre,où les morphisme sont les morphismes d' anneaux unitaires injectifs, alors la localisation L est un foncteur de Ring* vers Corps ( la catégorie des corps où les morphismes sont les morphismes d anneaux), et si u:Corps -> Ring* est l' inclusion, L est adjoint à gauche de u: Hom(L(A),k)=Hom(A,u(k)=k) ( le Hom de gauche est dans Ring*). Par unicité (à iso naturel près) de l' adjoint , un foncteur inverse à la localisation vérifiant l' adjonction, serait nat. iso à l' oubli, en particulier, le foncteur enverrai un corps sur un corps isomorphe, donc on aurait rien gagné ...

[invite7b7f1ad0]

Ah il faudrait une extension "sauvage" de la notion d'ensemble...

Se poser la question si le nombre des propriétés d'un objet pourrait être unique ou nul?

[syborgg]

Bonjour,

Et si on prenait ou µ est une base de transcendance de sur ?

Oui on pourrait penser a meme, qui est un anneau sans etre un corps, mais le probleme c'est pour passer de son corps de fraction a il y a encore une etape d'extension algebrique,

[Médiat]

Effectivement, il faudrait partir de A(µ), avec A les algébrique de IR.

[amineyasmine]

Salut
Un papier, en anglais, sur les cardinaux négatifs
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00853859/document
il prétend introduire les cardinaux négatifs sans modifier les axiomes ZFC

[gg0]

Bonjour.

Dès la première définition, impossible de savoir de quoi on parle. Il y a un mot non défini : "hole".
Donc c'est un article pour le premier avril (malheureusement publié en été !), ou, au mieux, mais ce n'est pas dit, l'exploration de ce qu'on obtiendrait si on pouvait définir les "espaces" dont il parle; en quelque sorte, une construction formelle.
Contrairement à ce que dit l'auteur, ce n'est pas construit à partir de ZFC, mais en ajoutant des axiomes d'existence (ceux qui justifieraient les définitions). D'ailleurs les deux premières définitions sont déjà assez incohérentes.

Cordialement.

[amineyasmine]

pour ne pas s'attaquer aux axiomes ZFC ils préfèrent s'attaquer à la chaîne la plus faible de la théorie des ensembles, qui est l'élément d'un ensemble, ils définissent l'anti-élément

[Médiat]

pour ne pas s'attaquer aux axiomes ZFC ils préfèrent s'attaquer à la chaîne la plus faible de la théorie des ensembles, qui est l'élément d'un ensemble, ils définissent l'anti-élément

Pas de chance, il n'y a pas d'éléments dans ZFC

[gg0]

Non, il n'est pas défini; il est postulé. Dans la théorie des ensembles, on peut ne rien postuler d'autre que l'existence d'un ensemble au moins (l'ensemble vide). Si je ne me trompe pas (j'ai un doute).

Mais on peut parfaitement postuler l'existence de cet "antiélément" qui "annulerait" n'importe quel élément d'un ensemble. La définition 1 en définit d'ailleurs un seul, mais qui apparaît en plusieurs exemplaires ensuite. La définition 2 postule l'existence, pour chaque ensemble, d'un "anti-ensemble" qui l'annule entièrement. Elle rend donc la définition 1 inutile. mais on vient de rajouter à ZFC une infinité d'axiomes, car des ensembles, il y en a beaucoup.
Et nulle part n'est examinée la cohérence de ces axiomes entre eux et avec la théorie des ensembles.

Ça me rappelle le thésard d'algèbre qui avait étudié une structure algébrique sans aucun exemple (je l'ai lue, quand j'étais étudiant). Il est possible qu'il soit impossible que cette structure existe, la thèse aurait été vide (c'est arrivé ailleurs).

[invite9dc7b526]

en théorie des catégories l'ensemble vide est l'unique objet initial de la catégorie des ensembles. Ce point de vue permet de généraliser la notion d'ensemble vide et il me semble que dans la théorie des topoi on peut trouver un topos non vide (non initial) mais qui n'a pas de points (pas d'éléments).

[Deedee81]

Salut,

Ce point de vue permet de généraliser la notion d'ensemble vide

J'ai du mal avec cette idée. Tu aurais plus de précision ou une référence ?
(pas sur les topos, ça c'est un peu compliqué )

[invite9dc7b526]

Disons que la philosophie de la théorie des catégories c'est que ce qui compte c'est les relations entre les objets et pas leur structure interne. Dans la théorie des ensembles ce qui caractérise l'ensemble vide c'est qu'il n'a pas d'éléments alors que dans la théorie des catégories c'est le fait que pour tout autre ensemble x il n'y a qu'une flèche de vide vers x. C'est sa "place" dans la catégorie qui le caractérise. Si maintenant tu essaies des créer une catégorie qui généralise la catégorie des ensembles, l'analogue de l'ensemble vide va être un objet qui a la même "place" (le même rôle en quelque sorte) bref, un objet initial (lequel n'est pas nécessairement unique en général).

[Médiat]

Non, il n'est pas défini; il est postulé. Dans la théorie des ensembles, on peut ne rien postuler d'autre que l'existence d'un ensemble au moins (l'ensemble vide). Si je ne me trompe pas (j'ai un doute).

Postuler l'existence d'un ensemble suffit, et même, certains auteur exige que les modèles soient non vide, du coup cet axiome d'existence devient inutile

[Deedee81]

D'accord, c'est plus clair. Merci,

[syborgg]

Salut,



J'ai du mal avec cette idée. Tu aurais plus de précision ou une référence ?
(pas sur les topos, ça c'est un peu compliqué )

La on commence a rentrer dans le lien fascinant entre theorie des ensembles et theorie des topos. Grosso modo, l'approche "categorique" des fondements des maths a travers les topos, est une alternative a l'approche clasique ZFC.
Dans ce cadre, ZFC est equivalent a un topos particulier. Mais la richesse de la notion de topos logique (a ne pas confondre avec les topos geometriques utilises en geometrie algebrique, meme si il y a un lien bien entendu), fait qu'il y a beaucoup d'autres topos non equivalents a ZFC.
Ainsi la theorie axiomatique des ensembles est un cas particulier dans la theorie des topos elementaires (ou topos logiques).
Voici un lien vers un cours assez bien fait sur le sujet pour debutants dans le domaine :

https://ncatlab.org/toddtrimble/publ...y+topos+theory

[Deedee81]

J'avais dit pas sur les topos

Non, je plaisante. Je confondais effectivement avec les topos géométriques.
Merci pour la référence (j'ai jeté un oeil, c'est déjà ardu pour moi, il me manque des bases là)

[gg0]

Merci Médiat d'avoir précisé.

[raymolk]

Mais la richesse de la notion de topos logique (a ne pas confondre avec les topos geometriques utilises en geometrie algebrique, meme si il y a un lien bien entendu), fait qu'il y a beaucoup d'autres topos non equivalents a ZFC.

D'aucuns estiment que le nom de « topos » aurait dû être réservé à la notion antérieure de topos géométrique : https://www.youtube.com/watch?v=AlMg...outu.be&t=5572 (la vidéo est censée commencer au bon endroit, sinon c'est à 1'32"52)
Je précise que je signale juste ça en passant, car j'ai regardé cette vidéo récemment, mais je ne prends pas parti (pas taper )

[invite046e427d]

Bonjour,
J'avais aussi suivi Olivia Caramello (aujourd'hui à l'IHES).
Mais devant la profondeur des topos mes images mentales sont devenues des tristes gribouillages.

[raymolk]

Bah on fait ce qu'on peut évidemment, n'est pas Grothendieck qui veut…
Perso j'ai entrepris de me faire une petite culture catégorique déjà, en partant des cours d'Alain Prouté (http://www.logique.jussieu.fr/~alp/).
Car évidemment, je n'en ai jamais entendu parler au cours de ma formation (qui remonte à une vingtaine d'années).
Après ça, on verra éventuellement pour approfondir les topos…

[syborgg]

Bah on fait ce qu'on peut évidemment, n'est pas Grothendieck qui veut…
Perso j'ai entrepris de me faire une petite culture catégorique déjà, en partant des cours d'Alain Prouté (http://www.logique.jussieu.fr/~alp/).
Car évidemment, je n'en ai jamais entendu parler au cours de ma formation (qui remonte à une vingtaine d'années).
Après ça, on verra éventuellement pour approfondir les topos…

La page de Proute a l'air pleine de choses interessantes a premiere vue, j'irai y faire un tour, merci pour le lien !
Moi j'avais etudie les bases des categories dans le cadre de ma these essentiellement avec le grand classique de Mac Lane "categories for the working mathematician", dans le but de comprendre des notions de morphisme de descente galoisienne (une espece de generalisation de la theorie de Galois dans un cadre purement categorique).

[amineyasmine]

BONJOUR

Ce n’est pas le doute qui tue, c’est la certitude.

Les auteurs de l’article (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00853859/document) ont proposé un concept hors norme, qui est originale et intuitivement acceptable.
N’ayant pas d’idée fixe sur le sujet j’ai envoyé un mail à l’adresse indiquée sur le document pour poser la question suivante :
((Est-ce que les auteurs admettent vraiment que les axiomes ZFC sont suffisant pour construire les cardinaux négatifs ou c’est une étape pour signaler plus-tard de nouveaux axiomes à ajouter à ZFC ? ))

Je vais attendre une réponse

[amineyasmine]

BONJOUR
j'ai reçu la réponse


c'est un projet d'étude abandonné.
le concept de "anti-ensemble" est encore très brut et s'il y a des échanges il est preneur

[amineyasmine]

Pas de chance, il n'y a pas d'éléments dans ZFC

Bonjour
et comment est ce que dans l’énoncé de l'axiome du choix il y a élément ?

Axiome du choix : Pour tout ensemble A, il existe une fonction f définie sur P (A), dite fonction de choix, qui à tout sous-ensemble non vide de A associe un élément de ce sous-ensemble

[Médiat]

Cela exprime une propriété d'un objet vis à vis d'un autre (grace à la relation d'appartenance) en aucun cas c'est une propriété intrinsèque d'un objet.
Dans ZF il n'y a pas d'objet qui soient des éléments, il n'y a que des ensembles.

[amineyasmine]

il n'y a pas de contradiction (langage) : l'ensemble x est un élément de l'ensemble Y (par la relation d'appartenance) et l'ensemble Y est un élément d'un autre ensemble V