Valuation p-adique

[ArnoGreg]

Bonjour,

je cherche à comprendre la phrase suivante :

Pour que et soient premiers entre eux, il faut et il suffit que pour tout , ou .

Sachant que désigne la valuation -adique d'un entier, c'est-à-dire le plus grand élément de l'ensemble .

Méthode 1 :
J'ai lu que :





En fait je ne saisis pas la première équivalence.

Méthode 2 :
J'ai écris la formule .

Or comme alors .

Donc .

Et donc .

Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ?
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
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[gg0]

La première équivalence est la contraposée de "s'il existe un entier premier p divisant a et b, le pgcd de a et b n'est pas 1 (puisque c'est un multiple de p).
Pour la méthode 2, tu ne démontres pas l'équivalence, seulement le sens direct. Sinon, ce n'est pas faux.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Bonjour,

Je vois pour la méthode 1.

On utilise le fait que s'il existe tel que et alors .

Et donc par contraposée il n'existe pas tel que et .

Pour que ce soit une équivalence, il me reste à expliquer pourquoi s'il n'existe pas tel que et alors .

Est-ce un résultat direct ? J'ai essayé au brouillon, mais j'ai l'impression de faire plus complexe qu'il ne faut.

[gg0]

Toujours par contraposition : Si pgcd(a,b)>1, pgcd(a,b) a un diviseur premier, p, qui divise ce pgcd donc a et b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArnoGreg]

Si alors il existe tel que , mais pourquoi ?

Est-ce qu'on utilise simplement le fait que tout nombre admet un diviseur premier ?

[gg0]

Je ne comprends pas ta question : Tu as une règle connue, simple (tu l'as dit) qui s'applique (tu l'as vu). Pourquoi demander confirmation d'une évidence ?

NB : Tu n'as fait que reprendre ce que je disais ...

[ArnoGreg]

Oui, je manque de confiance. J'essaye de travailler dessus.

J'ai très bien compris l'équivalence , merci à vous

Je poursuis en disant que cela équivaut à .

Et cela équivaut à .

Et là, j'ai une interrogation sur le fait que j'écrive un "et" au lieu d'un "ou". Je ne vois pas où est mon erreur.

[Médiat]

Je poursuis en disant que cela équivaut à .

Et cela équivaut à .

Effectivement cela est faux, car non (a et b) équivaut à (non a ou non b)

[gg0]

En pur français : le fait qu'on ne puisse trouver un p premier qui divise à la fois a et b n'interdit pas à des premiers (les facteurs premiers de a) de diviser a, ni n'interdit à des premiers (les facteurs premiers de b) de diviser b. Mais ceux qui divisent a ne divisent pas b et ceux qui divisent b ne divisent pas a. parmi les 4 catégories : divisent a seulement, divisent b seulement, divisent a et b, ne divisent ni a ni b, la troisième n'a aucun représentant premier. Les trois catégories possibles se traduisent pas v(b) nul, pas v(a), v(a) nul pas v(b), v(a)=v(b) = 0, ce qui s'écrit v(a)=0 ou v(b)=0.

Cordialement.