Décomposition en éléments simples

**Timothfunky** · 18/03/2020, 18h16

Bonsoir à tous,

Mon problème porte sur la décomposition en éléments simples de la fonction suivante : $\text{[math]}$

N'ayant que très peu fait ce genre d'exercice, j'ai quelques difficultés. Un peu d'aide, s'il vous plaît ?

Merci.

**gg0** · 18/03/2020, 19h02

Bonsoir.

Le dénominateur étant complétement factorisé, tu écris la décomposition théorique :
$\text{[math]}$
(pas de partie polynôme puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur)
Puis tu étudies ton cours pour voir les méthodes pour trouver a, b, c et d (a et d se trouvent de tête quand on a l'habitude).

Bon travail personnel !

**jall2** · 20/03/2020, 13h24

Bonjour

C'est quoi ta méthode gg0 pour trouver a et d de tête ?

J'obtiens a+b=0 à partir de $\text{[math]}$

Et pour obtenir 3 autres équations, je ne vois rien d'autre que de fixer 3 valeurs particulière pour x

**gg0** · 20/03/2020, 14h52

La méthode des "pôles simples" (*). Pour trouver a on multiplie les deux membres de l'égalité $F(x)=\frac a x + \frac b{x+2} + \frac c{(x+2)^2} + \frac d{(x+2)^3}$ par x et on remplace x par 0; idem pour d. Puis in prend une valeur pour x et on remplace, ce qui donne le dernier coefficient.
Il y a des tas de méthodes qu'on trouve sur les bons bouquins d'algèbre traitant de polynômes et fractions rationnelles.

Cordialement.

(*) C'est bizarre que tu ne connaisses pas alors que tu connais lim xf(x).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jall2** · 20/03/2020, 15h20

Ah oui effectivement (j'ai déjà vu cette méthode mais je l'avais complètement oubliée)

xF(x) et x = 0 conduit à: a = -1/8
(x+2)³F(x) et x=-2 conduit à: d = -7/2
xF(x) et x=+oo conduit à: a+b=0 donc b=1/8
puis x=-1 conduit à: -2a+c+d=-1 donc c=9/4

**gg0** · 20/03/2020, 15h39

Mon esclave numérique (Maple) est d'accord avec toi.

Décomposition en éléments simples