Résoudre l'intégrale pour la fonction d'onde d'un oscillateur harmonique

[Ikeew]

Bonjour à tous,

Je viens vers vous car j'ai un devoir de maths à faire et pour la dernière question qui est posée je dois résoudre une intégrale et je ne sais pas par quoi commencé...
La fonction qui nous est donnée est : ψ(x, y) = Ae−a(x²+y² ).
Pour exprimer la condition de normalisation, j’ai tout d’abord utilisé les coordonnées polaires et voici ce que j’ai trouvé ψ_((x,y))^2=∫∫_D▒〖ⅇ^(-ar^2 ) rⅆr〗 ⅆθ

Et pour résoudre cette intégrale, voici ce que j’ai commencé à faire :
Ψ^2 (x,y)=∫_0^(+∞)▒〖rⅇ^(-aΓ^2 ) ⅆr〗 ∫_0^2π▒ⅆθ où la première partie est égale à : [-ⅇ^(-ar^2 )/2a]_0^∞et la seconde à 2π.
Ainsi, j’ai trouvé (-1)/2a [ⅇ^(-ar^2 ) ]_0^∞=-1/2a ((lim)┬(r→∞) ⅇ^(-ar)*-ⅇ^0 )=1/2a Et au final j’obtiens que : ψ(x, y)=√aπ

Mais une fois ici, je ne sais plus quoi faire…

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[gg0]

Bonjour.

le calcul de l'intégrale ("à la physicienne") est rapide :

Et tu es ramené à deux intégrales élémentaires.

Mais comme je ne comprends pas vraiment ce que tu as écrit, je me demande si c'est cela que tu voulais calculer (tu parles d'une intégrale, sans la donner, puis d'une fonction, et j'ai pensé que c'était celle-ci que tu voulais intégrer. Si jamais c'est son carré, il y aura 2a à la place de a.

Cordialement.

[Ikeew]

Voici en image, ce que j'ai réussi à faire plus clairement mais je ne suis pas sûre de mon résultat et que ce soit bien ce qu'il faut faire pour résoudre l'intégrale. Et oui, c'est bien cette intégrale que je souhaite résoudre, du coup pour exp(-ar²) je dois remplacer par exp(-2ar²) ?
Puis pour poursuivre, je ne sais comment trouver A dans la fonction donnée.

Merci pour votre réponse

[gg0]

Je ne comprends pas pourquoi ce a qui divisait se retrouve maintenant multiplier Pi.
Ne jamais écrire 1/2a pour 1/(2a).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ikeew]

Je fini par avoir ψ²= 1/(2a) * 2π. De ce fait, j'obtient ψ²= aπ et donc ψ(x, y)=√aπ

Sachant, que j'ai démontré auparavant que l'intégrale de 0 à +inf de r*exp(-ar²)dr était égal à [-exp(-ar²)/(2a)]
Et que l'intégrale de 0 à 2π de dθ était alors égal à 2π

[Ikeew]

Voici ce que j'ai fait de façon plus explicite. Vous aviez raison je mettais bien trompé pour le résultat final, on trouve bien √(π/a)

[Biname]

Salut,

https://www.wolframalpha.com/input/?...0+to+%282pi%29

Il est toujours possible de vérifier avec Wolfram

Biname

[Ikeew]

Bonjour,

Je viens de vérifier ce que j’ai trouvé et c’est bon. Sauf que je ne sais pas quoi faire de ce résultat pour trouver la valeur de A dans la fonction psi.

[gg0]

Bonjour.

Ton calcul est bizarre ! Ttu dis que ta fonction est égale à l'intégrale de sa partie exponentielle sur tout le plan ??

Tu as parlé de condition de normalisation dans ton premier message. Comme je ne sais pas d'où ça sort (je ne suis pas dans ta tête), peux-tu nous dire ce que c'est que cette condition, avec la formule correspondante ? J'ai une petite idée qui aboutirait à A, mais comme tu fais n'importe quoi dans ton calcul (*), je préfère reprendre au début.

Cordialement.

(*) T'es-tu rendu compte que tu as trouvé


Tu y crois vraiment ?

[Ikeew]

Dans le devoir, il nous est demandé de donner la condition de normalisation de la fonction psi en coordonnées polaires (on nous donne comme information qu'elle se traduit comme une intégrale double portant sur psi²), puis de résoudre cette intégrale. N'est-ce pas ce que j'ai fait ? :/

[Ikeew]

Voici ce qui m'est demandé exactement

[gg0]

Alors je ne peux rien faire pour toi, puisque tu ne sais pas quelle est cette condition.

Cependant, si cette condition était par hasard

Il te suffirait de reprendre le calcul de l'intégrale (en n'oubliant pas le A) sérieusement et tu y arriverais.

Cordialement

[Ikeew]

Très bien merci pour votre aide

[gg0]

A noter : L'énoncé est assez malsain : "ce qui se traduit pas une intégrale double .." ?? La valeur de A ne se traduit pas par une intégrale, la garantie n'est pas une intégrale, la condition de normalisation est à priori une phrase (égalité, inégalité, ... ) pas un nombre (intégrale = nombre).
En fait, cette formulation tarabiscotée n'est là que pour éviter de rappeler la condition de normalisation (question de cours, posée au 1). Donc cet exercice s'adresse à des gens qui ont vu cette condition en cours.

[Ikeew]

Oui tout à fait. Nous avons vu que pour la condition de normalisation l'intégrale de la fonction au carré est égal à 1. Je dois donc résoudre la double intégrale à partir de ce résultat ? En reprenant depuis le début et en incluant A dans cette intégrale?

[gg0]

Ben oui !

C'est bizarre que tu n'aies pas fait ce calcul, puisque tu avais, toi, la condition de normalisation ...
Que tu traduis bizarrement : "Nous avons vu que pour la condition de normalisation l'intégrale de la fonction au carré est égal à 1". Non ! la condition de normalisation est "l'intégrale de la fonction au carré est égale à 1". C'est la condition qui compte !
Tu reprends le calcul de l’intégrale de \Phi^2 puis tu écris que ça vaut 1. Puisque c'est ce que dit la condition ...

[Ikeew]

J’ai donc refais le calcul en suivant ce que vous m’avez dit. Et voici ce que j’ai trouvé, or je ne sais pas à quoi correspond le petit a... je ne sais donc comment trouver la valeur exact de A...

[gg0]

Bien évidemment,

tu vas trouver A en fonction de a, puisque tu ne le connais pas. Mais ce n'est quand même pas la première fois que tu rencontres des lettres dans des calculs ...
Je lirai ton document quand il sera validé.

[Ikeew]

Très bien merci

[gg0]

Je viens de voir ton document, dans l'ensemble c'est correct, sauf un oubli classique chez les collégiens, mais peu acceptable à ton niveau : la simplification par 2.

Il serait bon que tu te demandes pourquoi tu n'as pas su faire ça directement, pour rectifier à l'avenir.

Cordialement.

[albanxiii]

A noter : L'énoncé est assez malsain :

"Résolvez l'intégrale" est à mettre dans le même sac (poubelle).

[gg0]

Tout à fait !

C'est dans la même lignée : confusion entre une égalité (équation) et l'intégrale qui sert à l'écrire.

Cordialement.

NB : j'ai bien fait de ne pas reprocher son titre à Ikeew.