cercle du plan complexe

[minushabens]

bonjour à tous,

je me demandais quelle était la bonne généralisation de la notion de cercle du plan euclidien quand on passe au plan CxC.

est-ce qu'on considère que le cercle de centre (a,b) et de rayon r est le lieu des points (x,y) qui vérifient (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (tous ces nombres étant des complexes)?

ou bien est-ce le lieu des points (x,y) tels que ||(x,y)-(a,b)||=r , la norme découlant du produit hermitien "canonique" et r étant du coup un réel ?

en d'autres termes, est-ce qu'un cercle du plan complexe a un rayon complexe, ou bien un rayon réel (positif)?
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[gg0]

Bonjour.

A priori, ce que tu veux généraliser est "ensemble des points à égale distance du centre". Donc tu as besoin de définir une distance sur CxC. Il y en a de nombreuses, mais (x-a)^2+(y-b)^2 n'en est pas une (voir quand ça s'annule).
Pour la géométrie plane, la géométrie euclidienne à deux dimensions, on a une distance conventionnelle. Mais il peut être amusant de prendre d'autres distances sur RxR pour obtenir des "cercles" de formes diverses, un carré par exemple.

Cordialement.

[minushabens]

j'aurais dû préciser: CxC est vu comme espace hermitien (donc normé) avec la forme hermitienne canonique, donc la question du choix de la distance ne se pose pas. En fait mon interrogation est de savoir si par cercle on entend : ensemble des points à la même distance d'un centre, ou bien ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation que l'on sait. Mais peut-être qu'il n'y a pas de version préférable.

[gg0]

Heu ... dans R^3, (x-a)²+(y-b)² = r² n'est pas appelé un cercle. La notion de cercle a plus de deux millénaires d'existence avec la même idée d'équidistance.
Tu as regardé géométriquement ce que donne (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (ou plus simplement x²+y² = 1 ou = -1) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[raymolk]

En fait mon interrogation est de savoir si par cercle on entend : ensemble des points à la même distance d'un centre, ou bien ensemble des points dont les coordonnées vérifient l'équation que l'on sait.

C'est censé être équivalent, l'équation en question n'étant jamais que la forme développée de ||x-c|| = r, où c est le centre, r le rayon, et x un point quelconque de l'espace.
Exemple : dans pour la norme euclidienne.
Quant à , il est isomorphe (en faisant correspondre les normes choisies).

[minushabens]

ah non ça n'est pas du tout équivalent. Par exemple si r=0, l'équation x^2+y^2=0 a des solutions distinctes de (0,0) alors que l'ensemble des points à distance nulle de (0,0) est toujours réduit à (0,0).

[gg0]

Oui,

tu montres bien que généraliser par recopie de l'équation n'est pas très utile.

Cordialement.

[minushabens]

pourquoi : pas utile? c'est parler de cercle qui te gène? ou bien tu n'aimes pas cette équation?

[gg0]

Ce qui paraît assez absurde c'est de parler de cercle !!
Je n'ai rien contre l'équation, mais ce n'est pas une équation qui définit un cercle (Dans ZxZ on ne va pas non plus parler de cercle, même si c'est la même équation). Plus gênant, tu as choisi une seule équation de cercle, mais il en existe une infinité, comme par exemple x^4+y^4 = 1-2x²y², qui est une équation du cercle trigonométrique. Mais qui, passé dans CxC ne donne plus la même chose que x²+y²=1.

Maintenant, tu fais ce que tu veux, mais tout le monde se demandera quelle bizarre idée tu as eu d'appeler cela un "cercle". C'est une surface de CxC, pas une courbe.

Cordialement.

[azizovsky]

Je n'ai pas saisie le sens du mot 'généralisation', mais il y'a : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fibration_de_Hopf
et https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...9cial_unitaire

[minushabens]

Maintenant, tu fais ce que tu veux, mais tout le monde se demandera quelle bizarre idée tu as eu d'appeler cela un "cercle". C'est une surface de CxC, pas une courbe.

c'est pourquoi je demandais quelle était la "bonne" définition. Mais remarque q'une droite complexe du plan CxC est un sous-espace vectoriel de dimension complexe 1, donc probablement que tu ne la considèrerais pas comme une courbe.

[gg0]

J'essayais de le voir du point de vue géométrique, évidemment. Mais sur ce point-là tu as raison.
Pour quel besoin as-tu pensé cette généralisation ?

[minushabens]

simple curiosité.

[eudea-panjclinne]

On considère l'ensemble des points (z,w) de CxC vérifiant

C'est une surface de CxC, c'est à dire une surface à deux dimensions dans un espace à 4.
On peut avoir une idée de ce à quoi elle ressemble en projetant en 3d sa représentation:
im1.jpg
Le résultat est variable selon la direction de projection:
im3.jpg

[azizovsky]

C'est simple a imagé:
- l'intersection d'un cercle dans R² avec une droite (1D) sont 2 pts diamétralement opposés.
- l'intersection d'une sphère dans R^3 avec le plan (2D) est un cercle .(voir projection stéréographique, spineur , ....)
- l'intersection d'une sphère dans R^4 avec l'espace (3(D) est une sphère .( projection stéréographique sur la sphère x²+y²+z² \< 1 est les quaternions unitaires, les quaternions imaginaires purs est la sphère S² :q=xi+yj+zk car qq*= x²+x²+x²=1).

[azizovsky]

ops : qq*=x²+y²+z²=1 (une façon de voir ...)

[eudea-panjclinne]

Attention il ne s'agit pas d'une sphère. les z et w sont des complexes. La surface obtenue qui est la surface de Riemann de l'équation z^2+w^2=1 est, certes, homéomorphe à la sphère de Riemann. De là, à dire que sa projection dans IR^3 est une sphère, il y a peut-être loin ! Les représentations graphiques que j'ai données ne vont pas trop dans ce sens. Ce qui doit être modulé, cependant, par le fait de la projection particulière dans IR^3, des difficultés du grapheur à visualiser les points proches de l'infini ou autour du point de branchement.

[slivoc]

Bonjour,

Une autre généralisation possible : un cercle de CxC pourrait être le produit de 2 cercles de C. En analyse complexe à 1 variable, les cercles et disque jouent des rôles privilégiés avec la formule intégrale de Cauchy; dans C^n, ce sont les polydisques et les produits de cercles qui jouent ces rôles avec la formule de Cauchy généralisée.

[minushabens]

La surface obtenue qui est la surface de Riemann de l'équation z^2+w^2=1 est, certes, homéomorphe à la sphère de Riemann.

tu es sûr de ça? En tout cas cet ensemble n'est pas borné.

[eudea-panjclinne]

La sphère de Riemann: S^2 est un ensemble particulier, elle est homéomorphe à C U{infini} par la projection stéréographique. de sorte qu'on peut la visualiser comme une sphère ordinaire à ceci près que son pôle nord est associé à {infini} et que sa distance naturelle n'a pas de sens ici.
Ceci n'est donc pas contradictoire avec le fait que l'ensemble considéré ici n'est pas borné.

La surface obtenue qui est la surface de Riemann de l'équation z^2+w^2=1 est homéomorphe à la sphère de Riemann.

la fonction de C dans C : W^2=1-z^2 est de genre 0 associée à S^2.
Voir:
N. Bergeron. Introduction aux surfaces de Riemann, p30
E. Reyssat. Quelques aspects des surfaces de Riemann, p16

[minushabens]

mais la sphère de Riemann n'est-elle pas compacte?

[azizovsky]

J'ai dit

projection stéréographique sur la sphère x²+y²+z² \< 1

par analogie avec la projection de la sphère S² sur le disque(x²+y²\<1) pour rejoindre le pôle sud ici: http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...pinoriel01.php

[azizovsky]

Un peu d'imagination 'géométrique' : https://youtu.be/tX_NUlO_tbw?t=390

[eudea-panjclinne]

mais la sphère de Riemann n'est-elle pas compacte?

Oui, ce qui fait aussi que C U{infini} l'est aussi. Par contre, C est homéomorphe à la sphère de Riemann privé de sont point pôle nord {infini}. En intégrant le point {infini} à C on lui fait jouer un rôle identique aux autre points. Cela permet de prolonger certaines fonctions complexes comme z--->1/z à CU{infini} et de les rendre holomorphes en infini.
Source Rudin W., Analyse réelle et complexe p242

[minushabens]

ok mais l'ensemble des (x,y) de CxC tels que x^2+y^2=1 est non borné et une partie non bornée d'un espace métrique n'est jamais compacte et donc cet ensemble ne peut être homéomorphe à la sphère de Riemann. Qu'en dis-tu?

[eudea-panjclinne]

annulé----------------------------------

[eudea-panjclinne]

Tu as tout à fait raison, et ton ensemble est contenu dans CxC, il est alors homéomorphe à la sphère de Riemann épointée (de son pôle nord) qui n'est pas compacte. Par contre la surface de Riemann (enfin une "réalisation", parce qu'il y a pas mal de définitions de ce concept) de la "courbe" [TEK] w^2+z^2=1 [/TEK], c'est une surface de CXC auxquels on a rajouté {} parce que dans ce nouvel ensemble l'étude des fonctions de variables complexes se fait plus facilement. Dans cette nouvelle structure la surface de Riemann est compacte, au moins pour ce cas particulier de fonction algébrique.

[azizovsky]

C'est une question d'espace 'complété' ,exp: page 36,37 pour deux variable complexe ...,V.S.Vladimirov :Les fonctions de plusieurs variables complexes .

[azizovsky]

Il y'a aussi le terme ''achevé'' par exemple dans Géométrie contemporaine I et II ...., B.Doubrovine,S.Novikov,A.Fomen ko