problème d'intégrale (Fonction d'onde)

**julien_4230** · 16/09/2009, 17h09

Bonjour,

On considère la fonction d'onde (sur IR) psy(x) = C*(exp(ikx)/(x²+a²))

Il faut calculer C.

Evidemment, on tombe sur l'équation :

|C|² intégrale sur IR (dx/(x²+a²)²) = 1.

Or on nous donne en donnée l'intégrale sur IR de (exp(-ikx)dx/(x²+a²)) = (Pi/|a|)exp(-|ak|), trouvée par le théorème des résidus.

N'y aurait-il donc pas moyen de tomber sur cette intégrale au lieu de tomber sur l'autre, plus complexe à calculer ?

D'autre part, on nous demande de calculer les écarts quadratiques de la position et de l'impulsion, mais ça devient très vite des calculs infaisables ! (pour calculer <p²>, on tombe sur une intégrale sur IR (dx/(x²+a²)^3), ce qui est terrible ! On ne nous donne même pas en donnée ces intégrales, mais la seule intégrale que je vous ai dite).

Merci de m'aider !!!!!!

**Jeanpaul** · 16/09/2009, 17h30

Wolfram te sert les intégrales sur un plateau :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

**julien_4230** · 16/09/2009, 17h37

oui je connais cela, merci, mais je tombe bien sur l'équation
|C|² intégrale sur IR (dx/(x²+a²)²) = 1
?

Merci !

**Coincoin** · 16/09/2009, 17h45

Salut,
Une idée en l'air : décomposition en éléments simples ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Jeanpaul** · 16/09/2009, 17h47

Envoyé par julien_4230

oui je connais cela, merci, mais je tombe bien sur l'équation
|C|² intégrale sur IR (dx/(x²+a²)²) = 1
?

Merci !

Pas de doute là-dessus.

**Coincoin** · 16/09/2009, 17h50

Euh... finalement, je crois que mon idée vient de retomber lourdement. Ça ne mène à rien du tout.

Quel degré de confiance tu as sur la fiabilité de l'énoncé ?

**julien_4230** · 16/09/2009, 17h53

degré assez élevé : il s'agit d'un exercice de TD tiré du livre de Claude Aslangul (qui est mon prof de TD !!)
Mais tout le monde a le droit à l'erreur!!!
Ce ne serait pas plutôt (racine de (x²+a²)) ?

**Coincoin** · 16/09/2009, 18h04

Ok, tout le monde a le droit à l'erreur, mais Claude Aslangul n'est pas tout le monde non plus

Même avec une racine, je ne vois pas trop, tu n'auras pas l'exponentielle au numérateur et tu pourras intégrer en arctan directement, sans utiliser le résultat donné.

Tu confirmes qu'on a un + dans l'exponentielle de psi et un - dans les données ?

**julien_4230** · 16/09/2009, 18h09

je confirme ! je pense qu'un mail destiné à Monsieur Aslangul serait sage...

**Magnétar** · 16/09/2009, 18h28

Bonjour,

une idée en l'air comme ça : Egalité de Parseval-Plancherel.

Pour la suite ça sent les dérivations sous le signe somme (enfin à vue de nez et de loin).

**julien_4230** · 16/09/2009, 19h20

Envoyé par Magnétar

une idée en l'air comme ça : Egalité de Parseval-Plancherel.

Vous pourriez justifier s'il vous plaît ?

**pepejy** · 16/09/2009, 19h51

Bonsoir,

je suis un peu rouillé, mais ton expression 1/(x²+a²)² me fait penser à une transformée de Laplace. N'y aurait-il pas un truc à creuser la dedans?

**julien_4230** · 16/09/2009, 20h06

La formule de Laplace ?! Comment cela ?

**pepejy** · 16/09/2009, 20h10

non pas la formule de Laplace, mais la Transformée de Laplace!!!

A tout hasard je suis tombé sur ça

, et je pense que c'est très sympa

(surtout vu l'auteur) ça peut te servir

**Magnétar** · 16/09/2009, 20h12

Oui pas de problème désolé pour le message je n'avais pas trop le temps.

le théorème de parseval plancherel nous permet de relier le produit hermitique de deux fonctions f et g de carré sommable et le produit hermitique de leur transformée de Fourier. Dis avec un peu moins de blabla ça donne pour deux fonctions f et g :

$\text{[math]}$
où l'étoile représente le conjugué et le tilde signifie transformée de fourier. L'égalité est en fait à des facteurs près qui dépendent de la convention adoptée pour la TF.

Quand on te donne $\text{[math]}$ , on te donne en fait à des constantes près la transformée de Fourier $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .
Maintenant si tu prends f=g tu vois que $\text{[math]}$ encore une fois à des facteurs près tout dépend de la convention de la TF. Comme il est facile de calculer $\text{[math]}$ tu en déduis ton intégrale.

**pepejy** · 16/09/2009, 20h16

Envoyé par Magnétar

Oui pas de problème désolé pour le message je n'avais pas trop le temps.

le théorème de parseval plancherel nous permet de relier l'intégrale du produit hermitique de deux fonctions f et g de carré sommable et l'intégrale du produit hermitique de leur transformée de Fourier. Dis avec un peu moins de blabla ça donne pour deux fonctions f et g :

$\text{[math]}$
où l'étoile représente le conjugué et le tilde signifie transformée de fourier. L'égalité est en fait à des facteurs près qui dépendent de la convention adoptée pour la TF.

Quand on te donne $\text{[math]}$ , on te donne en fait à des constantes près la transformée de Fourier $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .
Maintenant si tu prends f=g tu vois que $\text{[math]}$ encore une fois à des facteurs près tout dépend de la convention de la TF. Comme il est facile de calculer $\text{[math]}$ tu en déduis ton intégrale.

Je suis un i............e

, c'est la transformée de Fourier dont je voulais parler et pas celle de Laplace

(même si elles sont liées)

**gatsu** · 16/09/2009, 23h13

Envoyé par Coincoin

Salut,
Une idée en l'air : décomposition en éléments simples ?

Et une intégration par parties ? Ca a l'air à vue de nez de faire l'affaire non ?

**julien_4230** · 17/09/2009, 17h37

J'ai réussi, sinon, à trouver une formule de récurrence pour l'intégration de 1/(x²+a²)^n (effectuer une IPP), après ça devient simple d'intégration.
Vos aides m'ont été précieuses ! Merci à tous

**Coincoin** · 17/09/2009, 17h51

Tu n'es pas le seul à avoir eu des problèmes sur cet exercice : http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html

**julien_4230** · 17/09/2009, 19h30

Oui ! Nous en avons discuté.
Le problème, c'est qu'on ne sait pas trop si nous sommes sur la bonne direction (à cause des calculs horrifiants et du manque de donnée sur des intégrales). On est assez butté dessus. Le problème, c'est les notes qui nous mettent une pression d'enfer. Voilà pourquoi nous avons tant besoin de direction !

**Magnétar** · 17/09/2009, 19h32

Tu n'es pas le seul à avoir eu des problèmes sur cet exercice : http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html

Pas étonnant Claude Aslangul a donné son premier cours de mécanique quantique du M1 de l'upmc mercredi matin....

à cause des calculs horrifiants et du manque de donnée sur des intégrales

Oh pas si horrifiant que ça avec Parseval-Plancherel, et puis il aime beaucoup ce genre de calcul on s'habitue et en plus c'est un peu mieux que l'application de recettes bateau que l'on trouve dans la plupart des autres cours.

**julien_4230** · 17/09/2009, 19h51

Non ça encore ça va. J'avoue que Parseval-Plancherel ça passe vraiment bien, mais tu peux t'arranger à trouver une raltion de récurrence pour l'intégrale de 1/(x²+a²)^n pour n >1. Tu en auras super besoin, de cette relation de récurrence, pour calculer les 1/(x²+a²)^n qui t'attendent : la suite de l'exercice est de calculer delta x et delta p, et là, il y a beaucoup de calculs !!

**julien_4230** · 17/09/2009, 19h52

Vous êtes un de la promotion Magnétar ?

**Magnétar** · 17/09/2009, 20h25

Non ça encore ça va. J'avoue que Parseval-Plancherel ça passe vraiment bien, mais tu peux t'arranger à trouver une raltion de récurrence pour l'intégrale de 1/(x²+a²)^n pour n >1. Tu en auras super besoin, de cette relation de récurrence, pour calculer les 1/(x²+a²)^n qui t'attendent : la suite de l'exercice est de calculer delta x et delta p, et là, il y a beaucoup de calculs !!

Pour ce type d'intégrale le Parseval-Plancherel marche encore avec de l'astuce. Bon après la relation de récurrence j'en aurais pas vraiment besoin pour le moment vu que quand on est trop fainéant pour se lever on a pas les textes de TD

je verrai bien demain matin si je suis un peu plus courageux.
Et puis si vous venez de L3 de physique à l'upmc n'oubliez pas que Claude Aslangul nous a fait un sympathique petit cours d'analyse complexe donc il a surement dû caser du théorème des résidus dans le TD de MQ en souvenir du bon vieux temps...

Vous êtes un de la promotion Magnétar ?

Oui comme le début du message pouvait le faire deviner.

**Coincoin** · 17/09/2009, 21h11

Eh bien, on a tout le groupe de TD sur le forum !

**Armen92** · 22/09/2009, 21h32

J'arrive un peu après la bataille, ayant trouvé récemment par hasard. les difficultés que vous avez rencontrées.
L'intégrale qui vous a posé problème (et celles qui interviennent pour les écarts quadratiques) s'exprime simplement en dérivant par rapport à a l'intégrale élémentaire sur R de 1/(x^2+a^2)=Pi/a.
Tous les détails figurent dans le Tome III (corrigés des exercices et problèmes des Tomes 1 et 2), qui vient juste de paraître.

problème d'intégrale (Fonction d'onde)

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