logarithme itéré

[degre2]

Bonjour,
est-ce qu'il y a des propriétés quand applique 3 fois un logarithme: log(log(log(x))) ?
2 fois: log(log(x)) ?
n fois ?
1/2 fois ?
un nombre rationnel de fois ?
un nombre réel de fois ?
un nombre complexe de fois ?
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[Tryss2]

Que vaut log(log(1)) ? log(log(log(e))) ?

[degre2]

quand je parle de logarithmes je parle préférentiellement en base e donc:
ln(ln(ln(e))) = ln(ln(1)) = ln(0)


mais si vous avez des formules qui prennent en compte la base je prend ( j'ai remplacé les "log" par des "ln" pour éviter la confusion)

[ansset]

Bonjour,
est-ce qu'il y a des propriétés quand applique 3 fois un logarithme: log(log(log(x))) ?
2 fois: log(log(x)) ?
n fois ?

allons y progressivement.
domaine de def successifs :
ln(ln(x)) ]1; inf[
ln(ln(ln(x))) ]e ; inf[
ln(ln(ln(ln(x)))) ]e^e ; inf[ etc.
sens de variation:
f(x)=ln(ln(x)) tend vers -l'inf en 1 et +l'inf en +l'inf
f'(x)=1/(xln(x)) strict pos sur son domaine et tend vers +l'inf en 1
f''(x)=-(1+ln(x))/(xln(x))² strict neg sur son domaine
s'annule en x=e
bref ln(ln(x) a la même "allure" que ln(x).

et il en va de même pour ln(ln(ln(x))) avec un domaine de def et un point unique ou f(x)=0 diffs.
ainsi que pour les autres composées successives.

1/2 fois ?
un nombre rationnel de fois ?
un nombre réel de fois ?
un nombre complexe de fois ?

heuu ! ça s'écrit comment tout ça ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Le log itéré 1/2 fois j'imagine que ça serait une fonction f telle que f(f(x))=log(x) ...

[albanxiii]

ln(ln(ln(e))) = ln(ln(1)) = ln(0)

Vous avez écrit une horreur et vous ne vous en rendez pas compte ?

[pm42]

Vous avez écrit une horreur et vous ne vous en rendez pas compte ?

Comme d'autres l'ont relevé, il y a pire :

1/2 fois ?
un nombre rationnel de fois ?
un nombre réel de fois ?
un nombre complexe de fois ?

[degre2]

Je m'excuse si vous avez perçu ce que j'écris comme une horreur:ln(ln(ln(e))) = ln(ln(1)) = ln(0)
le but était d'expliquer a Tryss2 ce que j'entendais par logarithme itéré

Ensuite je m'excuse si ce que j'ai écris vous semble aberrant mais je cherche une définition intéressante de la répétition du logarithme comme lorsque l'on écris 2^3.5, multiplier 3.5 fois un nombre par lui-même ne veux pas dire grand chose mais on étend la définition au nombre réel en se basant sur quelques bonnes propriétés

Dernièrement si vous voyez des erreurs dans ce que j'écris ne faites pas que le dire, corrigez les svp.(soyez indulgent je suis en 3e)

[pm42]

(soyez indulgent je suis en 3e)

Effectivement, cela te donne le droit à beaucoup plus d'indulgence.

multiplier 3.5 fois un nombre par lui-même ne veux pas dire grand chose mais on étend la définition au nombre réel en se basant sur quelques bonnes propriétés

En effet mais on le fait de façon tout à faire cohérente avec les exponentielles et logarithme et parce qu'on dispose des nombres réels et de leur continuité.
A ma connaissance, il n'existe pas de cadre pour dire : "je compose une fonction 2.5 fois".

Sinon et pour répondre à ta question originale, la composition n fois de la fonction logarithme n'est pas spécialement intéressante : il n'y a pas de propriété marquante qu'on utiliserait souvent.

[gg0]

Et plus gênant, comme l'a expliqué ansset, plus il y a de logarithmes, plus ça ne meut s'appliquer qu'à des nombres très grands. Par exemple le ln itéré 5 fois ( ln(ln(ln(ln(ln(x))))) ) ne peut s'appliquer qu'à des nombres d'au moins 8 chiffres après la virgule.

Je pense que surtout tu es parti à l'envers : La notion de puissance est nettement plus élémentaire, et on sait définir des puissances itérées (voir par exemple la notation de Knuth. Tu aurais pu chercher alors des itérations intermédiaires par exemple une flêche de Knuth de coefficient 1,5.

Cordialement.

[azizovsky]

1/2 fois ?

Il y'a un 'truc' qui reflète l'opération 'inverse' de l'intégration même si l'expression est floue, : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_fractionnaire

[degre2]

En fait je posais cette question car j'essayais de définir x↑↑1/2 et des sortes "logarithmes de Knuth" avec une définition des flèches de Knuth qui donne (x↑↑a)↑(x↑↑b) = x↑↑(a+b) et x↑↑1 = x

[azizovsky]

Par exemple: https://pdfs.semanticscholar.org/a2b...ef19dbe1ca.pdf

Definition. Intégrateur d’ordre un demi d’une fonction causale

formule (18)

[azizovsky]

En fait je posais cette question car j'essayais de définir x↑↑1/2 et des sortes "logarithmes de Knuth" avec une définition des flèches de Knuth qui donne (x↑↑a)↑(x↑↑b) = x↑↑(a+b) et x↑↑1 = x

D'après le lien, pour les fonctions 'avec conditions', il y'a le cas particulier :
''l'outil'' le plus proche de l'une de tes idées ....

[Médiat]

En fait je posais cette question car j'essayais de définir x↑↑1/2

Comme je l'ai déjà écrit dans autre fil, la façon la plus cohérente de définir pour est où est la réciproque de

[minushabens]

Je trouve que se poser la question de l"itéré d'ordre 1/2" d'une fonction n'est pas si aberrant. La composition de deux applications est un produit. D'accord, ça marche bien pour les bijections et sinon c'est bancal, et le logarithme n'est pas une bijection. Mais si on accepte l'idée qu'on a affaire à un produit on peut se demander s'il existe des racines carrées d'une permutation donnée. Ou ce qui revient au même quels sont les carrés (dans le groupe des bijections (=permutations) d'un ensemble donné).

[azizovsky]

Si quelqu'un a le temps :

....

1/2 fois ?

formule générale de wiki:

[pm42]

En même temps, degre2 est en 3ème. Certes, il a pas mal d'avance sur le programme mais il serait intéressant de savoir ce qu'il connait comme outils parce que les intégrales et encore plus la dérivation fractionnaires ne sont pas forcément des choses qu'il a vu.

[albanxiii]

Comme d'autres l'ont relevé, il y a pire :

Pour les "pires" je pensais justement à des choses comme la dérivation fractionnaire et pour le nombre complexe de fois à des prolongements analytiques. Je me disais que l'OP peut-être aussi et j'étais étonné de voir ln(0).

[pm42]

Pour les "pires" je pensais justement à des choses comme la dérivation fractionnaire et pour le nombre complexe de fois à des prolongements analytiques. Je me disais que l'OP peut-être aussi et j'étais étonné de voir ln(0).

J’ai supposé que quelqu’un qui connaîtrait cela ne poserait pas forcément une question sur la composition de log mais je me trompe parfois. Ou même souvent

[azizovsky]

Je ne connais pas trop la dérivation fractionnaires, mais c'est un 'bon' problème pour dérouiller les synapses de 'l'imagination'.
la fonction ln(x) est définit à partir de l'intégration, ce qui nous permet de définir '1/2 fonction':
on'a d'après wiki :
symboliquement :



une définition possible de la 'demi fonction' du Ln(x)(omission des conditions ...):




https://www.wolframalpha.com/input/?...88%9A%28x-t%29

ps: il faut voir les ingénieurs si les édifices sur le papier des architectes sont réalisables .

[degre2]

comment écrivez-vous les intégrales et tout le reste, je ne peux pas rédiger de réponses sans cette outil.

[gg0]

Lis ce fil de discussion.

[Tryss2]

Je trouve que se poser la question de l"itéré d'ordre 1/2" d'une fonction n'est pas si aberrant. La composition de deux applications est un produit. D'accord, ça marche bien pour les bijections et sinon c'est bancal, et le logarithme n'est pas une bijection. Mais si on accepte l'idée qu'on a affaire à un produit on peut se demander s'il existe des racines carrées d'une permutation donnée. Ou ce qui revient au même quels sont les carrés (dans le groupe des bijections (=permutations) d'un ensemble donné).

Non, c'est loin d'être une question aberrante, et elle est même assez naturelle. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine..._fonctionnelle.

Maintenant, expliciter une telle fonction n'est probablement pas trivial

[Mocassins]

Il y a effectivement des sortes d'itérées fractionnaires, réelles, et même transfinies du logarithme naturel. On part de l'équation d'Abel pour suffisamment grand. Imaginons qu'on ait une solution qui est une bijection continue entre et pour certains nombres . On peut voir comme une sorte d'itération transfinie de ; par exemple elle croit plus lentement que toute itérée finie de dès lors qu'on se place sur un intervalle pour suffisamment grand. Donc ce n'est pas le genre de fonction fréquemment rencontrées en analyse, même si elle provient d'une équation fonctionnelle très simple.

Notant la réciproque de , on a pour tout une fonction qui satisfait et (là où les expressions sont définies).

Il existe des solutions à l'équation d'Abel, qui sont des fonctions analytiques strictement croissantes. Cependant, il n'y a pas de consensus sur l'existence de solutions remarquables; et il semble au contraire qu'il y ait une grande indétermination entre les différents candidats, qui ont en gros les mêmes propriétés.

[ansset]

Edit : erreur.

[ansset]

Dernièrement si vous voyez des erreurs dans ce que j'écris ne faites pas que le dire, corrigez les svp.(soyez indulgent je suis en 3e)

En 3 ème à 20 ans ???

[degre2]

l' habitude, je met jamais mon vrai age en vrai j' ai 14 ans

[pm42]

l' habitude, je met jamais mon vrai age en vrai j' ai 14 ans

Avoir une idée de ton age et de ton niveau permettent de mieux cibler les réponses. Parce que comme les contributions ci-dessus l'ont montré, à certaines de tes questions on peut répondre "cela n'a pas de sens tel quel" ou "on peut le faire avec des techniques qui nécessitent un niveau bac+3".

Quelqu'un qui a le niveau collège et qui écrit une racine d'un nombre négatif se verra dire qu'il fait une erreur. Mais s'il est post-bac, on se posera la question de savoir s'il ne fait pas un abus d'écriture en travaillant avec les complexes par exemple.

[degre2]

d' accord je vais crée un nouveau compte merci