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Le complément perpendiculaire de Pi



  1. #1
    DjPoke
    Invité

    Le complément perpendiculaire de Pi

    Bonjour à tous !

    J'aimerai lancer un sujet sur ce que j'ai appelé le complément perpendiculaire de Pi.

    Soit la formule de leibniz pour calculer Pi, j'en ai extrais que :
    Pi = 360 * [ sin(90)/90 + sin(180)/180 + sin(270)/270 + sin(360)/360 + sin(360+90)/(360+90) + sin(360+180)/(360+180) + ... + sin(infini)/infini

    Et j'en ai conclus en remplaçant sinus par cosinus que :
    E = 360 * [ cos(90)/90 + cos(180)/180 + cos(270)/270 + cos(360)/360 + cos(360+90)/(360+90) + cos(360+180)/(360+180) + ... + cos(infini)/infini

    Ce qui m'a permis, en prenant chaques fractions par paires sinus/cosinus, de représenter ce que j'ai nommé la spirale d'ExE :



    J'aimerai savoir ce que ce nombre E vous inspire comme relations avec Pi ?

    E est après tout, peut être aussi intriguant que Pi

    Il est à noter que E s'ecrirait :

    -----

    Dernière modification par DjPoke ; 10/07/2006 à 16h29.

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  3. #2
    GuYem

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Bonjour.

    Je me permets de répondre à ta question par d'autres questions :
    -Je ne connais pas la "formule de Liebniz" dont tu parles, tu peux détailler ?
    -Tu es sur que la série obtenue en remplaçant les sinus par les cosinus est convergente ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    DjPoke
    Invité

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    La formule de leibniz pour calculer Pi/4 est :
    1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ... etc et elle est convergente

    Quant à celle de E, graphiquement elle semble l'etre. (je me suis fabriqué un programme pour représenter ce genre de formules)

    E/4 = -1/2 + 1/4 -1/6 + 1/8 ... etc
    Dernière modification par DjPoke ; 10/07/2006 à 17h06.

  5. #4
    GuYem

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Ah oui vu comme cela ça converge, c'est une série alternée facile.

    Finalement ton E c'est la moitié de la somme de la série (-1)^n/n ; je ne sais pas ce que vaut cette somme.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    martini_bird

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Salut,

    la formule de Leibniz s'écrit plutôt selon la seconde somme ci-dessous :



    En remplaçant les sinus par des cosinus tu obtiens :



    Cordialement.

    EDIT pour Guyem : et le développement en série du logarithme ?
    Dernière modification par martini_bird ; 10/07/2006 à 17h15.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    DjPoke
    Invité

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Après un petit calcul sur ordi, voila ce que j'obtiens :

    Précision en nombre de fractions | valeur de E
    -----------------------------------------------------
    1000 -1,38529169559
    100000 -1,38626813889
    10000000 -1,38627493382


    Mais en fait, ce qui m'intéresserait, c'est de traiter le tout sous forme de sinus/cosinus pour voir par exemple les différents liens entre Pi et E.

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  10. #7
    GuYem

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    la formule de Leibniz s'écrit plutôt selon la seconde somme ci-dessous :



    En remplaçant les sinus par des cosinus tu obtiens :



    Cordialement.

    EDIT pour Guyem : et le développement en série du logarithme ?
    Bien vu, cette formule pour Pi ne ressemble pas vraiment à celle donnée par DjPoke en premier message.

    Et d'où t'as vu que je connais mes développements en série entières ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    rvz

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Salut,

    Je ne sais pas du tout de quoi tu parles quand tu dis complément perpendiculaire de Pi, mais pour moi, ta seconde formule est convergente et tend vers ln(2) (avec une constante devant). Déjà, tu la divises par 2. Tu obtiens la somme des (-1)^k /k, puis tu ajoutes la série harmonique jusqu'à l'ordre n/2, et tu t'aperçois en remaniant la somme que c'est égal à la série harmonique jusqu'à n. Tu utilises les équivalents sur les séries harmoniques (avec la constante d'euler) et tu tombes facilement sur un log(2).
    Bon, je dois dire des bêtises (Je suis toujours très imprécis...), mais je pense que l'idée y est.
    Du coup, forcément, ça tuerait un peu l'intérêt de E, dont je n'ai de toute façon pas compris grand chose.

    [edit : Grillé par Martini ! ]
    __
    rvz

  12. #9
    DjPoke
    Invité

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    En fait j'ai multiplié Pi/4 par 1/90, ce qui donne ma formule en distribuant de l'autre coté ma formule je pense

    De plus sinus(180)=0 et sinus(360)=0. J'ai donc rajouté "les absents" dans la formule

  13. #10
    DjPoke
    Invité

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Bref :

    Pi/360 = 1/90 + 0 + -1/(3*90) + 0 + 1/5(*90)...

    Avant de rire en voyant les 0 :

    Pi/360 = 1/90 + 0/180 -1/270 + 0/360 + 1/(90+360) ...

    Et 1,0,-1,0 correpondent ) sinus(90),sinus(180),sinus(270 ) et sinus(360)

  14. #11
    DjPoke
    Invité

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    En tout cas merci !

    Je sais maintenant que E = 2 * ln(2)

    Reste à savoir si on peut utiliser ce nombre à la place de Pi dans notre fameux C=2*Pi*R

  15. #12
    martini_bird

    Re : Le complément perpendiculaire de Pi

    Reste à savoir si on peut utiliser ce nombre à la place de Pi dans notre fameux C=2*Pi*R
    Tu peux toujours, mais ça risque d'être bizarre un cercle dont la circonférence est plus petite que le rayon...

    Note: c'est log(2)/2 et non 2*log 2.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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