Le complément perpendiculaire de Pi

[DjPoke]

Bonjour à tous !

J'aimerai lancer un sujet sur ce que j'ai appelé le complément perpendiculaire de Pi.

Soit la formule de leibniz pour calculer Pi, j'en ai extrais que :
Pi = 360 * [ sin(90)/90 + sin(180)/180 + sin(270)/270 + sin(360)/360 + sin(360+90)/(360+90) + sin(360+180)/(360+180) + ... + sin(infini)/infini

Et j'en ai conclus en remplaçant sinus par cosinus que :
E = 360 * [ cos(90)/90 + cos(180)/180 + cos(270)/270 + cos(360)/360 + cos(360+90)/(360+90) + cos(360+180)/(360+180) + ... + cos(infini)/infini

Ce qui m'a permis, en prenant chaques fractions par paires sinus/cosinus, de représenter ce que j'ai nommé la spirale d'ExE :



J'aimerai savoir ce que ce nombre E vous inspire comme relations avec Pi ?

E est après tout, peut être aussi intriguant que Pi

Il est à noter que E s'ecrirait :

-----

[GuYem]

Bonjour.

Je me permets de répondre à ta question par d'autres questions :
-Je ne connais pas la "formule de Liebniz" dont tu parles, tu peux détailler ?
-Tu es sur que la série obtenue en remplaçant les sinus par les cosinus est convergente ?

[DjPoke]

La formule de leibniz pour calculer Pi/4 est :
1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ... etc et elle est convergente

Quant à celle de E, graphiquement elle semble l'etre. (je me suis fabriqué un programme pour représenter ce genre de formules)

E/4 = -1/2 + 1/4 -1/6 + 1/8 ... etc

[GuYem]

Ah oui vu comme cela ça converge, c'est une série alternée facile.

Finalement ton E c'est la moitié de la somme de la série (-1)^n/n ; je ne sais pas ce que vaut cette somme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

la formule de Leibniz s'écrit plutôt selon la seconde somme ci-dessous :



En remplaçant les sinus par des cosinus tu obtiens :



Cordialement.

EDIT pour Guyem : et le développement en série du logarithme ?

[DjPoke]

Après un petit calcul sur ordi, voila ce que j'obtiens :

Précision en nombre de fractions | valeur de E
-----------------------------------------------------
1000 -1,38529169559
100000 -1,38626813889
10000000 -1,38627493382


Mais en fait, ce qui m'intéresserait, c'est de traiter le tout sous forme de sinus/cosinus pour voir par exemple les différents liens entre Pi et E.

[GuYem]

Salut,

la formule de Leibniz s'écrit plutôt selon la seconde somme ci-dessous :



En remplaçant les sinus par des cosinus tu obtiens :



Cordialement.

EDIT pour Guyem : et le développement en série du logarithme ?

Bien vu, cette formule pour Pi ne ressemble pas vraiment à celle donnée par DjPoke en premier message.

Et d'où t'as vu que je connais mes développements en série entières ?

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne sais pas du tout de quoi tu parles quand tu dis complément perpendiculaire de Pi, mais pour moi, ta seconde formule est convergente et tend vers ln(2) (avec une constante devant). Déjà, tu la divises par 2. Tu obtiens la somme des (-1)^k /k, puis tu ajoutes la série harmonique jusqu'à l'ordre n/2, et tu t'aperçois en remaniant la somme que c'est égal à la série harmonique jusqu'à n. Tu utilises les équivalents sur les séries harmoniques (avec la constante d'euler) et tu tombes facilement sur un log(2).
Bon, je dois dire des bêtises (Je suis toujours très imprécis...), mais je pense que l'idée y est.
Du coup, forcément, ça tuerait un peu l'intérêt de E, dont je n'ai de toute façon pas compris grand chose.

[edit : Grillé par Martini ! ]
__
rvz

[DjPoke]

En fait j'ai multiplié Pi/4 par 1/90, ce qui donne ma formule en distribuant de l'autre coté ma formule je pense

De plus sinus(180)=0 et sinus(360)=0. J'ai donc rajouté "les absents" dans la formule

[DjPoke]

Bref :

Pi/360 = 1/90 + 0 + -1/(3*90) + 0 + 1/5(*90)...

Avant de rire en voyant les 0 :

Pi/360 = 1/90 + 0/180 -1/270 + 0/360 + 1/(90+360) ...

Et 1,0,-1,0 correpondent ) sinus(90),sinus(180),sinus(270 ) et sinus(360)

[DjPoke]

En tout cas merci !

Je sais maintenant que E = 2 * ln(2)

Reste à savoir si on peut utiliser ce nombre à la place de Pi dans notre fameux C=2*Pi*R

[invite4793db90]

Reste à savoir si on peut utiliser ce nombre à la place de Pi dans notre fameux C=2*Pi*R

Tu peux toujours, mais ça risque d'être bizarre un cercle dont la circonférence est plus petite que le rayon...

Note: c'est log(2)/2 et non 2*log 2.