Asymptotes obliques

[chloe4559]

Bonjour,

en ce temps de confinement, nous avons pleins de cours en ligne et je dois avouer que ce n'est pas simple !

Nous avons récemment vu les développements limités. J'ai un exercice qui me demande de déterminer les équations d'éventuelles asymptotes obliques à la fonction en plus et moins l'infini.
Nous n'avons absolument pas vu ça dans le cours, et je ne vois pas du tout comment faire.

Je sais juste d'après ce que nous avons eu qu'une application des développements limités est les asymptotes obliques.

Je peux vous donner la fonction, mais j'aimerais vraiment si possible que vous m'aidiez dans le méthode et dans la façon de procéder. La fonction c'est
f(x)=exp(1/x)*sqrt(x^2+x+1)

Merci d'avance,
Cordialement
-----

[gg0]

Bonjour.

Je vais traiter le cas de +oo, l'autre se traite de la même façon. La courbe de f admet une asymptote en +oo si on peut écrire f(x)=ax+b +e(x) où e(x) tend vers 0 en +oo. Donc f(x) a, au voisinage de +oo, un développement asymptotique (*) qui est une fonction affine (x--> ax+b). Si a=0, l'asymptote est dite horizontale.

Dans certains cas, on peut utiliser des développements limités pour obtenir ça, c'est le cas de ta fonction. Le terme exp(1/x) où 1/x tend vers 0 donne un DL par rapport à 1/x. Pour l'autre terme, en factorisant le x², on obtient (toujours au voisinage de +oo où x peut être considéré comme non nul et positif :

et on va utiliser le DL de (1+t)^a en 0.

Cordialement.

(*) c'est l'analogue d'un DL, mais pour l'infini, on peut l'obtenir parfois en considérant des expressions qui tendent vers 0 à l'infini, comme 1/x (le plus fréquent, ou exp(-x) en +oo

[ansset]

Je sais juste d'après ce que nous avons eu qu'une application des développements limités est les asymptotes obliques.

Oui, c'est l'une d'entre elle, mais pas ( et de loin me semble t-il ) la plus fréquente.
Les DL sont d'avantage usuels pour décrire le comportement d'une fct au voisinage d'un point.
Dans certain cas , l'étude en +/- l'inf renvoie à une étude en 0 ( comme ici avec le 1/x).
Et les DL sont utiles.

[chloe4559]

Boniour, désolé pour le temps de réponse, mais j'ai énormément de travail, et j'avais quelques semaines pour semaines pour faire cet exercice, donc je viens de revenir dessus.

Lorsque je fais le produit des DL de exp(-1/x) et celui de de x(1+1/x+1/x^2)^1/2 et je trouve une constante + x - 3/(8x) +e(x) ou e(x) tend vers 0.

et la je ne sais pas si c'est normal que je trouve quelque chose avec du x au numérateur et quelque chose avec du x au dénominateur ?

Et comme j'ai du x au dénominateur, comment j'arrive à quelque chose du type ax+b ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

peut etre que je peux dire que 3/(8x)=3/8*x^-1 ? et dans ce cas je ne prend que constante + x sans considérer la suite ?

[ansset]

Lorsque je fais le produit des DL de exp(-1/x) et celui de de x(1+1/x+1/x^2)^1/2 et je trouve une constante + x - 3/(8x) +e(x) ou e(x) tend vers 0.

quelle constante trouves tu ? (*)
par ailleurs , tous les termes en 1/x^n ( avec n >0 ) entrent dans dle e(x) car tendent vers 0 en +/- l'inf.

(*) car justement on cherche qcq chose de la la forme ax+b
et ici a vaut bien 1, mais tu ne précises pas le b que tu trouves, et qu'il faut bien préciser.

ps : je n'ai pas vérifié ton -3/8x mais c'est sans importance.

[chloe4559]

Alors je trouve x-1/2 + 3/(8x)

et la je ne vois pas ce qui faut faire pour savoir la position de la courbe par rapport à la tangeante y=x-1/2 trouvée

et comme (ce que je n'avais pas forcément capté) 3/8x tend vers 0 quand x tend vers +/- inf alors il rentre dans le e(x)

[gg0]

Bonjour Chloe4559.

Ton calcul semble faux (aurais-tu pris trop peu de termes dans les DL en calculant ?). On ne trouve pas -3/(8x) mais +11/(8x) terme qui tend lui aussi vers 0.
mais comme on voulait quelque chose de la forme ax+b + e(x) où e(x) tend vers 0, on se rend compte que des DL à l'ordre 1 de l'exponentielle et de la racine carrée suffisent, et qu'on trouve x+3/2 + o(1/x) ce qui suffit à conclure ..

Cordialement.

[ansset]

quels sont tes calculs ?
car le résultat est faux .
je trouve x+3/2

[chloe4559]

je vais essayer de tout vous détailler au mieux car c'est pas simple sur cet interface.

Pour exp(-1/x) je trouve en effectuant le changement de variable t=-1/x : 1-1/x+1/2x^2 +e(x)

ensuite pour la racine soit (1+1/x+1/x^2)^1/2 , je pose u=1/x+1/x^2 et je trouve quelque chose de la forme (1+u)^1/2 avec u qui tend vers 0 quand x tend vers +/- inf

pour ça je trouve 1+1/2x + 3/8x - 1/4x^2 +e(x)

Il faut que je multiplie ceci par x car la factorisation donnait bien ce facteur fois x et je trouve: 1/2+x+3/8x-1/4x^2 +e(x)

finalement, je dois multiplier 1-1/x+1/2x^2 +e(x) par 1/2+x+3/8x-1/4x^2 +e(x) et j'obtiens x-1/2 + 3/(8x) + e(x) soit y=x-1/2

j'ai refait les calculs avant de vous envoyer cela mais je retrouve pareil j'ai du faire une erreur bete quelque part mais je ne vois pas où

[ansset]

je vais essayer de tout vous détailler au mieux car c'est pas simple sur cet interface.
Pour exp(-1/x) je trouve en effectuant le changement de variable t=-1/x : 1-1/x+1/(2x^2) +e(x)
ensuite pour la racine soit (1+1/x+1/x^2)^1/2 , je pose u=1/x+1/x^2 et je trouve quelque chose de la forme (1+u)^1/2 avec u qui tend vers 0 quand x tend vers +/- inf
pour ça je trouve 1+1/2x + 3/8x - 1/4x^2 +e(x)

Il faut que je multiplie ceci par x car la factorisation donnait bien ce facteur fois x et je trouve: 1/2+x+3/8x-1/4x^2 +e(x)
finalement, je dois multiplier 1-1/x+1/2x^2 +e(x) par 1/2+x+3/8x-1/4x^2 +e(x) et j'obtiens x-1/2 + 3/(8x) + e(x) soit y=x-1/2

il y a plusieurs erreurs.
d'abord c'est exp(1/x) et non exp(-1/x) donc le DL commence par 1+1/x+1/2x²
pour l'autre terme :
le DL de (1+a)^(1/2) commence par 1+a/2 soit donc pour (1+1/x+1/x²)
1+1/2x+1/(2x²)+.. ( donc encore une erreur ici )
ensuite il faut multiplier les termes et garder ceux constants et tous ceux en c/x car il y a une multiplication par x comme tu le précises.

à toi de le refaire proprement.

[gg0]

Une remarque importante : Dans les DL, il faut traiter correctement les termes d'erreur (ce que tu écris e(x)). Leur ordre de grandeur est très important :exp(-1/x) je trouve en effectuant le changement de variable t=-1/x : 1-1/x+1/2x^2 +e(x)
exp(-1/x) = 1-1/x+1/2x^2 +1/x^2 * e(x) avec e(x) qui tend vers 0 en 0
Prenons plutôt (c'est l'énoncé)
exp(1/x) = 1+1/x+1/2x^2 +1/x^2 * e(x) avec e(x) qui tend vers 0 en 0

(1+1/x+1/x^2)^1/2 = 1+1/2x+1/(2x²)+ (1/x+1/x^2) e'(x) avec e'(x) qui tend vers 0 en 0
Et on voit que le 1/(2x²) est aussi un terme qu'on va négliger, car il tend vers l'infini aussi vite (voire plus vite) que le 1/x*e'(x). de même, on va laisser de côté le 1/x² à la fin qui ne change rien. Donc, à cet ordre :
(1+1/x+1/x^2)^1/2 = 1+1/2x + 1/x* e"(x) avec e"(x) qui tend vers 0 en 0

Ne reste plus qu'à multiplier :
f(x) =(1+1/x+1/2x^2 +1/x^2 * e(x))*x*(1+1/2x + 1/x* e"(x))
Je te laisse faire et négliger les termes inutiles.

Tant qu'on ne maîtrise pas fortement ces questions, il faut revenir aux définitions et règles élémentaires. Plus tard, ça deviendra intuitif.

Cordialement.

[chloe4559]

Ah mince j'ai fait une erreur en recopiant l'énoncé c'est bien exp(-1/x)

Pour le deuxième point je revoit demain car ce que vous me précisez c'est ce qu'il me semble que j'ai fait. C'est juste que je suis allée au rang deux et donc après les simplifications j'obtiens ce que je vous ai donné mais sinon si je m’arrête au rang 1, je trouve également cela.

[chloe4559]

nous n'avons pas l'habitude d'utiliser cette notation pour désigner la "fonction" de la fin du DL qui tend vers 0 mais plutôt la notation o(...). Je sais que ça revient au même mais je ne comprend pas trop votre explication (gg0). J'ai l'impression de ne jamais avoir vu ca en cours. Nous n'avons jamais enlevé de termes à un DL et j'avoue que du coup je ne comprends pas trop pourquoi on peut négliger et laisser de côté 1/X^2 et 1/2x^2. Est ce seulement parce qu'on les comparent ) 1/x et notamment à comment tendent ces deux fractions quand x tend vers inf par rapport à 1/x ?

[ansset]

oui, c'est l'usage de noter le reste o(..)
maintenant si c'est bien exp(-1/x), cela change effectivement le calcul.
concernant le fait de négliger les termes :
supposons que le DL amène :
ax+b+c/x+d/x²+....+o(1/x^n))
tous les termes en 1/x^k ( k>0) sont inclus dans un o(1) , donc il ne sert à rien de les mentionner à la fin
car on cherche ici une asymptote , soit un équivalent du type ax+b ( sous entendu +o(1)) uniquement.

[chloe4559]

D'accord, mais du coup si c'est bien exp(-1/x) alors l'équation de l'asymptote que j'ai trouvée est bonne ? (y=x-1/2) et là pour trouver la position de cette asymptote par rapport au graphe en +/- inf je dois faire f(x)-y et la je dois bien garder le membre suivant x-1/2, c'est-à-dire 3/8x donc quand x tend vers +inf alors f(x)-y est inférieur ou égal à 0 donc la courbe est "en dessous" de l'asymptote. En -inf, c'est l'inverse, f(x)-y sup ou = à 0 donc la courbe est au dessus de l'asymptote ?

[gg0]

OK pour l'équation de l'asymptote; le terme suivant permet effectivement de connaître la position de la courbe par rapport à l'asymptote. Et c'est le contraire de ce que tu dis : En +oo, 3/(8x) est positif, donc la courbe est au dessus (y > x-1/2).

Pour le terme complémentaire, comme tu n'en as utilisé aucun, j'ai supposé que tu étais totalement débutante et j'ai repris ta formulation "...+e(x) ou e(x) tend vers 0. " du message #4. En fait, si tu sais ce que veut dire o(quelque chose), tu reconnais dans mes 1/x^2 * e(x) et (1/x+1/x^2) e'(x) des o(1/x^2) et o(1/x+1/x^2). Mes e(x) et e'(x) sont évidemment des o(1).
D'autre part, comme 1/x^2 est négligeable par rapport à 1/x, o(1/x+1/x^2) est un o(1/x). je t'engage vivement à le montrer avec tes définitions de cours, la compréhension de ce qu'on fait avec les négligeables est fondamentale.

Cordialement.

[chloe4559]

AH oui je ne sais pas pourquoi j'ai inversé le signe de 3/8x. En effet, je suis totalement débutante, on vient d'aborder ce chapitre mais les profs n'ont pas mis l'accent sur les négligeables donc j'essaye de comprendre par moi même car quand on leur pose la question ils disent que ce n'est pas le plus important. En revanche, quand je trace la courbe je trouve que la courbe est au dessus de l'asymptote en -inf et en dessous en + inf du coup j'ai du vraiment faire une erreur quelque part;

[gg0]

Si ce n'est pas important, il ne faut pas utiliser la notation o(x^n) qui est justement délicate donc importante. la remplacer par x^n e(x) avec e(x) qui tend vers 0 en 0 permet au moins de manipuler correctement. En particulier, dans tin exercice où on multiplie par x.
En fait, je reviens simplement à la définition : f(x)=o(g(x)) en a s'il existe une fonction e qui tend vers 0 en a telle que f(x)=g(x)e(x).

Cordialement.

[ansset]

nous n'avons pas l'habitude d'utiliser cette notation pour désigner la "fonction" de la fin du DL qui tend vers 0 mais plutôt la notation o(...). Je sais que ça revient au même mais je ne comprend pas trop votre explication (gg0). J'ai l'impression de ne jamais avoir vu ca en cours. Nous n'avons jamais enlevé de termes à un DL et j'avoue que du coup je ne comprends pas trop pourquoi on peut négliger et laisser de côté 1/X^2 et 1/2x^2. Est ce seulement parce qu'on les comparent ) 1/x et notamment à comment tendent ces deux fractions quand x tend vers inf par rapport à 1/x ?

juste sur ce point :
un DL comme son nom l'indique est "limité" , donc il est d'usage de n'en prendre que la partie nécessaire ( ou demandée ) (*)
ainsi en x=0
pour la fonction exponentielle
à l'ordre 1 ( le o(x) signifie négligeable devant x )
à l'ordre 1
à l'ordre 3....
pour la fonction sinus ( tj en x=0 )
à l'ordre 3 par exemple.
donc le o est en fait un o(g(x)) est un reste négligeable devant le dernier terme utile du DL.
( cf le message de gg0 )

pour les fonctions connues , on peut aussi les écrire sous forme de série "à l'infini" telle que

mais , on ne parle plus de DL dans ce cas.

[chloe4559]

Ok, super merci beaucoup pour tous vos conseils ! c'est génial surtout en ce temps de confinement où les profs ne sont pas autant présents que d'habitude ! encore un énorme merci