Applications linéaires

**malakasolo** · 14/04/2020, 17h32

Bonjour , en cette periode de confinement , je suis actuellement bloqué sur cette exercice Nom : Capture d’écran 2020-04-14 à 18.25.42.png
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Notre professeur nous a donné des indications mais je ne comprends pas..
Pour la qa : u est une application linéaire mais concrètement que dois je faire ?

Je suis perdu pour tous l'exercice..

Pouvez vous me donnez des pistes s'il vous plait. ?

Merci

**gg0** · 14/04/2020, 17h44

Bonjour.

Dans une famille libre, il n'y a jamais le 0 de l'espace vectoriel. Les hypothèses te permettent de montrer qu'on peut trouver un x (*) qui fait de (x,u(x),u(u(x))) une famille libre. Il suffit que ces éléments soient non nuls.
A toi d'étudier ces hypothèses et ton cours et de continuer.
Si, après avoir bien démarré (trouvé un x et commencé à prouver que la famille est libre), tu bloques sur une preuve, expose tout ce que tu as fait, on t'aidera à continuer.

Cordialement.

(*) en fait il y en a une infinité, mais 1 suffira. x restera donc un vecteur théorique de R^n, sa valeur exacte importe peu.

**malakasolo** · 14/04/2020, 19h21

Ah d'accord , mais comment dois je procéder , parce que je ne vois pas à quoi u correspond (une matrice , un vecteur). Parce que j'ai essayé de faire un systeme comme cela :
x= 0
u(x) = 0
u^2(x) = 0

Mais je n'en tire aucune conclusion..

**gg0** · 14/04/2020, 20h01

Bon,

je crois que la première chose à faire, pour toi, est de lire ton cours, de le lire et le relire jusqu’à ce que tu comprennes de quoi il est question. "je ne vois pas à quoi u correspond" montre que tu n'as pas fait ta partie du travail : Apprendre tes leçons.
Quand tu auras fait ça, mes explications devraient déjà t'aider. Actuellement, tu ne comprendrais même pas un corrigé.

Cordialement.3

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**CARAC8B10** · 14/04/2020, 20h04

Comment démontre-t-on que 3 éléments de R^N : x, u(x),u^2(x) sont libres ?
C'est du grand classique.
Suppose qu'il existe a, b ,c tels que $\text{[math]}$ puis applique u à cette relation, etc

Edit
Pas vu la réponse de gg0 quand je rédigeais

**malakasolo** · 14/04/2020, 21h59

J'ai beau avoir relu et relu le cours, je vois que pour montrer qu'une famille est libre : somme(1 à n) des Li*ei = 0 mais l'écriture (x,u(x),u^2(x) ) ne me dit rien..

**gg0** · 15/04/2020, 08h20

As-tu revu ce que c'est qu'un endomorphisme ?
Il doit aussi y avoir dans ton cours le fait que u²=uou (pour tout x, u²(x)=u(u(x))).

Quant à la méthode de preuve, Carar8b10 t'a donné le schéma.

Cordialement.

NB : Cet exercice se fait après plusieurs semaines de travail sur les bases de l'algèbre linéaire, une fois les bases acquises. Si elles ne le sont pas, il faut apprendre encore le cours, le vocabulaire, les théorèmes essentiels, comprendre comment ça fonctionne. Faire l'exercice n'est qu'une motivation pour apprendre vraiment.

**jacknicklaus** · 15/04/2020, 10h48

Commence par appliquer la méthode de carac8b10. Quel vaut

$\text{[math]}$

?

**malakasolo** · 15/04/2020, 10h59

A aucun moment dans mon cours le mot endomorphisme est mentionné.

En developpant , aux + bux^2 + cu^3x

**gg0** · 15/04/2020, 11h02

endomorphisme de E (*)= application linéaire de E dans E.
Tu aurais tapé "endomorphisme" dans ton moteur de recherche préféré, tu aurais s tout de suite.

"aux + bux^2 + cu^3x" est du n'importe quoi.

(*) E est un espace vectoriel.

**minushabens** · 15/04/2020, 11h21

allez, petit coup de pouce. On doit montrer que n>2. Je suis plus modeste et je montre que n>1, c'est-à-dire que n n'est pas égal à 1 (le cas n=0, bon...).

Pour n=1, une application linéaire u de R dans R est telle qu'il existe un réel a tel que pour tout x on ait u(x)=ax. On sait que u^2 n'est pas nul, on en déduit que u^2(1) n'est pas nul <note que u^2 non nul signifie que u^2(x) n'est pas identiquement nul mais on pourrait avoir u^2(x)=0 pour certains x>. Si on avait u^2(1)=0, alors pour tout réel x = x*1 on aurait par linéarité u^2(x)=x*u^2(1)=0, d'où u^2 nulle, contradiction.

Maintenant, on a u^2(1)=u(u(1))=a^2 on sait donc que a n'est pas nul. Mais alors, u^3(1)=a^3 n'est pas nul or l'énoncé dit que u^3 est identiquement nulle, contradiction, et n>1.

tu peux essayer de montrer de la même manière que n>2 mais on peut le faire autrement.

**malakasolo** · 15/04/2020, 14h47

Oulah , je suis totalement perdu..

Le truc que je ne comprends toujours pas est "u" , c'est quoi ? u est un vecteur , une application linéaire , ...
Ensuite dans mon cours , les applications linéaires sont représentés sous forme de systeme.

J'ai tenté de faire l'aide jack , j'ai appliqué des coefficients lambda pour avoir l'ensemble des lambdas = 0 donc une famille libre.

**minushabens** · 15/04/2020, 15h09

est-ce que tu sais ce qu'est une application?

**CARAC8B10** · 15/04/2020, 15h22

On veut montrer que pour tout élément x non nul de $\text{[math]}$ la famille $\text{[math]}$ est libre c'est-à-dire que s'il existe 3 réels a, b, c tels que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ alors nécessairement $\text{[math]}$ .

On suppose la relation (1) établie et l'on applique l'application linéaire u à chacun de ses 2 membres :
$\text{[math]}$
u étant une application linéaire :
$\text{[math]}$
Or $\text{[math]}$ , Il reste : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
On applique une deuxième fois $\text{[math]}$ , on obtient :
$\text{[math]}$
il reste : $\text{[math]}$
comme x est un élément non nul, $\text{[math]}$ est non nul et nécessairement $\text{[math]}$
En portant dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
même punition et $\text{[math]}$
En portant dans (1) il reste $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

**gg0** · 15/04/2020, 15h45

Faudrait lire les réponses :
12h02 Gg0 "endomorphisme de E (*)= application linéaire de E dans E."
15h47 Malakasolo " "u" , c'est quoi ? u est un vecteur , une application linéaire "

**gg0** · 15/04/2020, 15h48

Carac8b10 :

Pourquoi lui donner un corrigé alors qu'il n'a pas encore commencé à réfléchir à son exercice, ne comprenant pas le mot "endomorphisme".
Tu contreviens aux règles du forum (lis Exercices et Forum"), tu soutiens la fainéantise ou la tricherie (*).

Cordialement.

(*) faire faire son exercice noté sur un forum

**CARAC8B10** · 15/04/2020, 16h02

Effectivement gg0, je n'avait pas capté que l'exercice pourrait être noté.
Mais en période de confinement on peut être plus souple et je demande donc à malakasolo
une fois qu'il l'aura lu et je l'espère compris de refaire tout seul, avec crayon -papier, cet exercice, par exemple demain
et de s'assurer qu'il peut le refaire ...

**gg0** · 15/04/2020, 16h10

On peut toujours demander ...

En lui détaillant peu à peu les points délicats, patiemment (il a fallu presque une journée pour voir qu'il ne comprenait pas "endomorphisme), on pouvait l'amener à comprendre pas mal de choses sur l'algèbre linéaire. Là, il n'a plus besoin, même pas de comprendre.
On verra bien s'il revient poser des questions sur ta preuve ...

**ansset** · 15/04/2020, 17h20

Il reste les questions b) et c) qui implique un peu de travail qu'on est pas obliger de faire à sa place...

**malakasolo** · 15/04/2020, 18h08

Merci pour la réponse détaillé mais je ne comprends pas le déroulé. L'expression je ne sais pas d'où elle sort.
Même si "j'ai la réponse" j'aimerai comprendre comment on y parvient.. Désolé si je vous donne l'impression de ne pas être au point mais notre professeur nous a donné le cours sans "d'explications"..

**minushabens** · 15/04/2020, 18h41

le problème c'est qu'on ne sait pas très bien quelles sont les notions que tu maîtrises. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la démonstration qui t'a été donnée?

**gg0** · 15/04/2020, 19h06

Finalement, à la relecture, la "preuve" de Carac8B10 n'a aucun intérêt, elle est fausse.

On peut la rectifier en prenant non pas "n'importe quel x non nul", mais un x qui n'est pas dans le noyau de u² (possible, puisque u² n'est pas l'endomorphisme nul.

Cordialement.

**gg0** · 15/04/2020, 19h08

Malakasolo,

Que connaissais-tu sur les espaces vectoriels avant que le prof te donne le cours sans explications ?
Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce cours ?

**malakasolo** · 15/04/2020, 19h58

Avant la periode de confinement , en cours , nous avions vu les bases sur les espaces vectoriel : famille libre/generatrice base , base du calcul matriciel ( matrice inverse , etc) puis au moment du confinement. Le prof nous a donné le cours sur les A.L , les determinants.

Pour etre honnete , pas grand chose (non pas que je n'ai rien compris mais je sais faire les exercices du cours donnés point.) Les definitions ,je trouve sont assez abstraites.

heu.. Question bête mais essentiel je pense : qu'est ce qu'une application linéaire , a quoi sert-elle sur les matrices..
Puis plus loin dans le cours sur les A.L : applications injectives , surjectives. Je sais qu'il faut faire tel ou tel chose puis obtenir quelque chose de cette forme pour determiner si injective / surjective etc mais pourquoi

..

**minushabens** · 15/04/2020, 20h12

une application linéaire est une application (déjà, est-ce que tu connais cette notion? je suppose que oui) qui a la propriété d'être linéaire, c'est-à-dire que si f est une telle application d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F, x et y deux vecteurs de E et a un scalaire on a f(x+y)=f(x)+f(y) et f(a*x)=a*f(x).

Il y a une petite entourloupe ici: le "+" du membre de gauche de la première égalité représente l'addition dans E alors que dans le membre de droite c'est l'addition dans F, et de même le signe "*" (qu'on omet d'habitude) représente dans le membre de gauche de la seconde égalité la multiplication par les scalaires dans E et la multiplication dans F dans le second membre.

on peut très bien parler d'application linéaire sans se référer à des matrices.

**malakasolo** · 15/04/2020, 20h43

Que dois je entendre par "propriété d'être linéaire" (désolé si ca parait bête) ?
Pourquoi dans E on a f(x+y) et dans F f(x)+f(y) ?

**gg0** · 15/04/2020, 21h59

... qui a la propriété d'être linéaire, c'est-à-dire que si f est une telle application d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F, x et y deux vecteurs de E et a un scalaire on a f(x+y)=f(x)+f(y) et f(a*x)=a*f(x).

Pourquoi poser des questions dont tu as la réponse dans la suite de la phrase ?

Une application linéaire est une correspondance entre deux espaces vectoriels qui fonctionne bien avec les opérations linéaires (celles des espaces vectoriels). Elle transforme une somme en une somme et le produit par un scalaire en le produit par le même scalaire.
Il y a un lien entre applications linéaires et matrices, à condition d'avoir choisi une base dans l'espace vectoriel de départ, et une dans celui d'arrivée. Voir ton cours (que tu dois étudier complétement, on ne va pas te le refaire).
"Les définitions, je trouve sont assez abstraites" Oui, parce qu'elles sont très générales donc seront très utilisées. Donc tu les apprends, tu les comprends, tu les utilises, tu les comprends mieux, tu t'y habitues ... Ce sont les maths du supérieur. Tu n'as pas le choix.

La suite de ton propos m'inquiète. On dirait que tu n'as jamais encore rencontré la notion d'application avec son vocabulaire (ensemble de départ, antécédent, image, injectif et injection, surjectif et surjection, bijectif et bijection, ..). Tu fais quelle formation après quel bac ?

**minushabens** · 16/04/2020, 05h21

Envoyé par malakasolo

Pourquoi dans E on a f(x+y) et dans F f(x)+f(y) ?

j'en rajoute une couche (les maths c'est comme la peinture, il faut une deuxième couche et parfois une troisième): tu as une application u de E dans F, donc comme gg0 l'a écrit une correspondance qui à chaque vecteur x de E associe un vecteur de F qu'on note u(x). Maintenant si tu te donnes deux vecteurs x et y de E, tu peux faire leur somme x+y qui est encore un vecteur de E, que je note z (donc, z=x+y). L'application u permet de calculer les images de ces vecteurs : u(x), u(y) et u(z). Dire que u est linéaire signifie que u(z) = u(x) + u(y) <et aussi une propriété analogue pour le produit externe>.

**malakasolo** · 16/04/2020, 09h31

La notion d'application ne nous a pas était introduite en cours (avant confinement) mais seulement pendant le confinement sans explications supplémentaires. Elle est écrite dans le cours mais sans "la couche du professeur".
Je suis en premiere année de prepa integrée.

**gg0** · 16/04/2020, 10h09

Le mot "application" est un synonyme de fonction. Tu as utilisé des fonctions (et la notation f(x) par exemple) depuis des années. C'est bizarre que tu ne l'aies pas reconnue dans ton cours.
Les applications d'un ensemble E dans un ensemble F sont des fonction de E dans F qui sont toujours définie (tout élément de E a une image, dans F). Là aussi, tu manque un peu de sérieux : si le mot application t'est inconnu, tu as des dictionnaires, et tout Internet pour chercher ce que c'est. Tu peux te bouger un peu pour comprendre.

Si (E,+,.) est un espace vectoriel, un endomorphisme de E, disons f, est donc une fonction qui associe à tout élément de E, un élément de E (son image - l'image de x est notée f(x)) de façon que soient respectées les opérations : pour tout couple de vecteurs (x,y) de E et tout scalaire (nombre) k, f(x+y)=f(x)+f(y) et f(k.x)=k.f(x).
Faut-il entrer dans des détails que tu devrais connaître depuis le collège ?

Mais tu as cela dans ton cours. étudie-le. Et fais des exercices plus simples pour t'aguerrir, celui-ci est plutôt un exercice "bilan". Ton prof a dû t'en donner bien d'autres ...

Applications linéaires