Espaces supplementaires

[invite61a8211d]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice

Considerons les sous espaces vectotiels de R⁴

F= l'ensemble des (x,y,z,t) tels que x-y-2t=0 et x=-t
G=l'ensemble des (x,y,z,t) tels que x-z+t=0 et y=-z

1. Trouver une base de F et G
Là pas de soucis je trouve (-1,-3,0,1) et (0,0,1,0) pour F
et (1,-1,1,0) et (-1,0,0,1) pour G

2.Les espaces vectoriels F et G sont ils supplémentaires?

Pour montrer que l'intersection des deux sous espaces est le vecteur nul pas de soucis mais je peine à montrer si F+G=R⁴ ou non
Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Si tu connais déjà la notion de dimension, tu as quasiment fini, car F+G est de dimension ?

Cordialement.

[invite61a8211d]

Dim F+G = 2 + 2 - 0 = 4. La dimension est 4 mais je vois pas en quoi ça prouve que F+G=R⁴

[gg0]

Quels sont les sous-espaces vectoriels de dimension 4 de R^4 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61a8211d]

Ah il y a juste R⁴ ?

[gg0]

Ben ... un sev de dimension 4 a une partie libre (base) à 4 éléments de R^4 et une partie libre à n éléments d'un espace de dimension n est génératrice.

En fait, l'inclusion stricte de sev correspond à une diminution de dimension.

[invite61a8211d]

D'accord donc on a forcément F+G=R4 mais j'ai du mal à comprendre votre première phrase, pouvez vous la reformuler svp?

[gg0]

Soit E un espace vectoriel de dimension 4, et F un de ses sev, de dimension 4. F a une base (a,b,c,d) qui engendre F. (a,b,c,d) est une famille libre de E, donc une base de E. Donc (a,b,c,d) engendre E, et comme le sev engendré est unique, F=E.

[invite61a8211d]

D'acc merci