Limite et continuité d'une suite

[Muchaa]

Bonjour,

Je suis actuellement en 2ème année de DUT et j'essaye d'apprendre un peu plus en maths par moi même.
J'aimerais faire cet exercice :

Pour (An)n∈N une suite de nombres réels, pour n un entier positif, on note ∑(k=0)^n (Ak=A0+A1+⋯+An). On définit fn : x∈[0,1] -> x^n pour tout n∈N*.

Q1. Pour tout x∈[0,1], calculer la limite de ∑(k=0)^n fk(x) quand n tend vers +infini.
Q2. La fonction obtenue est-elle continue sur [0,1] ?

En fait je ne comprend pas vraiment ce qui est demandé... Si quelqu'un pouvais m'éclairer...

Cordialement.
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[mehdi_128]

Salut tu peux distinguer les cas x=0 et x différent de 0 et utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

[Muchaa]

Merci pour votre réponse rapide, je pensais distinguer x=1 non ?
Pour être sure : La raison q de ma suite est bien x ? Donc quand x<1, Sn=1/(1-q) ?
Donc la limite dépend de x ? Elle vaut soit 0 et converge soit 1 et diverge ?

[mehdi_128]

Oui x=1 pardon j'ai dis une bêtise.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Muchaa]

Pas de problème, et c'est donc pour cette raison qu'elle n'est pas continue sur [0;1] ?
Merci

[mehdi_128]

Que vaut f(x) pour x différent de 1 et que vaut f(1) ? Pour la continuité il faut étudier la limite en 1 de f(x) : si elle vaut f(1) elle est continue sinon elle n'est pas continue.

[Muchaa]

fn(x) pour x tend vers 1 et x<1 quand n tend vers +infini tend vers 0
fn(1) = 1
Donc la fonction n'est pas continue ?
Est-ce suffisant ?

Merci encore.

[gg0]

Bonjour.

Tu l'as bien dit, pour x<1 :

Maintenant, pour x=1, combien vaut

Et quelle est la limite quand n tend vers l'infini ? f(1) existe-t-il ?

Cordialement

[Muchaa]

(1-1^inf)/(1-1) ? On a donc pas besoin de lever d’indétermination puisque le dénominateur est 0, la somme est infini donc la série diverge pour x=1 et elle n'est donc pas continue sur [0,1] ?

(Promis dès que je suis en école d'ing je me mets au LaTeX).

Merci.

[gg0]

Heu ... tu utilises une formule fausse, puisque ta formule sur la somme de termes d'une suite géométrique suppose x différent de 1. mais si x=1, la somme dont tu cherches la limite vaut n+1 et tend bien vers +oo. La fonction limite f n'existe pas pour x=1, la continuité en 1 n'a pas de signification.

Cordialement.