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Limite + Continuité



  1. #1
    T@kniX

    Limite + Continuité


    ------

    Salut tout le monde.

    Je bloque sur 2 choses, déjà une petite limite mais qui à mon avis ne doit pas être bien compliqué, faut juste que je trouve le truc à faire donc j'ai besoin d'un petit coup de pouce :



    J'ai essayé plein de choses pour me ramener à des équivalents connus (changement de variable pour avoir l'équivalent de tan x en 0 des trucs comme ça) mais rien n'aboutit.

    Quelqu'un a-t-il une idée ?

    Ensuite j'ai un exercice sur lequel je bloque complètement...

    J'ai essayé divers techniques mais j'avoue que je ne savais même pas où j'allais en faisant ça... en gros, aucune idée de par quoi commencer...

    L'énoncé :



    L'un de vous a-t-il une idée de par quoi commencer ?

    Vu que je n'arrivais pas à démontrer ça, j'ai voulu passer à la suite en l'admettant mais je n'ai même pas vu le rapport entre ceci et l'énoncé suivant :

    Quelqu'un peut-il m'expliquer le rapport entre les 2 questions ?
    Parce que personnellement je ne vois pas....

    Merci d'avance à tous

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Limite + Continuité

    Bonjour.

    Pour la première, pose par exemple 1-x=h, donc h tend vers 0, et tan(pix/2)=tan(pi/2-pi.h/2)=sin(pi/2-pi.h/2)/cos(pi/2-pi.h/2)=cos(pi.h/2)/sin(pi.h/2)

    ET là tu as un équivalent connu du numérateur et du dénominateur.
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    Ledescat

    Re : Limite + Continuité

    Désolé pour le double post.

    Pour la seconde, une bonne idée à mon avis serait de poser g(x)=f(x+1/n)-f(x) sur [0;1-1/n]
    Cogito ergo sum.

  4. #4
    ericcc

    Re : Limite + Continuité

    Pour la première question, pose h=x-1 et souviens toi de la formule pour tan(x+pi/2)

    Pour la deuxième question, je pense qu'il faut étudier la fonction Gn(x)=f(x+1/n)-f(x)
    Dernière modification par ericcc ; 14/11/2007 à 18h38. Motif: grillé par Ledescat !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    T@kniX

    Re : Limite + Continuité

    Ah bin oui c'est limpide !

    J'étais parti dans cette direction... mais mal...

    Enfin quoiqu'il en soit c'est bon maintenant, merci à toi.

    Une petite idée pour l'autre ?

    Comment ça j'en veux trop ? ^^

    Encore merci.

    Edit : J'aurais dû réactualiser la page avant de poster, j'ai zappé 2 posts.
    Je vais voir ça, je vous recontacte.

    Merci à vous 2.

  7. #6
    Taar

    Re : Limite + Continuité

    Citation Envoyé par T@kniX Voir le message

    Quelqu'un peut-il m'expliquer le rapport entre les 2 questions ?
    Prends pour g(x) la distance parcourue au bout de x heures (x compris entre 0 et 1). g(0)=0, g(1)=20. Si tu modifies "astucieusement" g, tu dois pouvoir te ramener à f(0)=f(1).

    Taar.

  8. #7
    T@kniX

    Re : Limite + Continuité

    Bon alors j'ai un peu cherché mais ça ne mène pas à grand chose en vérité...

    Une fois que j'ai g, ok je fais quoi ?

    Je suppose qu'on calcule g(0) = f(1/n)-f(0) et g(1-1/n)=f(1)-f(1-1/n)
    On a aussi f(0)=f(1) donc je suppose qu'il faut en faire quelque chose mais quoi ?


    J'ai essayé divers remplacement mais ça ne mène à rien.

    Vous pouvez me donner encore un petit coup de pouce ?

    Et Taar, merci, je regarderais ça quand j'aurais réussi la démonstration

  9. #8
    Ledescat

    Re : Limite + Continuité

    Citation Envoyé par T@kniX Voir le message

    Je suppose qu'on calcule g(0) = f(1/n)-f(0) et g(1-1/n)=f(1)-f(1-1/n)
    On a aussi f(0)=f(1) donc je suppose qu'il faut en faire quelque chose mais quoi ?
    Tu es bien parti en tout cas.

    Evalue donc g(0),g(1/n),g(2/n)...g((n-1)/n)=g(1-1/n)

    Tu verras apparaître sûrement quelque chose de particulier, et tu feras ce qu'il faut en général faire quand on remarque ce genre de choses .

    A toi de jouer.
    Cogito ergo sum.

  10. #9
    T@kniX

    Re : Limite + Continuité

    Ce que tu essayes de me dire c'est :


    Pas mal, fallait le trouver quand même.

    Sauf que je cherche x tel g(x)=0 <=> f(x+1/n)=f(x)

    Comment on en vient à ça à partir de la somme ?

    Tu m'es quand même d'une grande aide, merci !

  11. #10
    Ledescat

    Re : Limite + Continuité

    Que t'indique une somme de g(xi) nulle ?
    (je t'aide: pense aux signes)
    Cogito ergo sum.

  12. #11
    T@kniX

    Re : Limite + Continuité

    Ah bin oui forcément ^^

    J'ai vraiment du mal quand même...

    Désolé de te soutirer toutes les solutions comme ça ^^

    Si la somme est nulle c'est qu'il existe des termes positifs et négatifs, donc g change de signe, or g continue donc d'après le TVI, il existe x tel que g(x)=0

    Limpide !

    Je vais me pencher sur l'application maintenant.

    Encore merci à toi ce n'est pas la première fois que tu me permet non seulement de faire un exo mais également que tu me montres des techniques très intéressantes.

    Question perso : tu fais quoi dans la vie ?

  13. #12
    Ledescat

    Re : Limite + Continuité

    Citation Envoyé par T@kniX Voir le message
    mais également que tu me montres des techniques très intéressantes.
    Des magouilles de sup, ça s'oublie pas trop .


    Question perso : tu fais quoi dans la vie ?
    Euh, je suis en mp*, ce qui me prends pas mal de temps (donc on peut considérer ça comme une occupation :S).
    Cogito ergo sum.

  14. #13
    Leonheart

    Re : Limite + Continuité

    bonsoir,
    J'ai lu le post et je comprends bien comment résoudre la troisième question, mais pour la deuxième, je ne vois pas quelle méthode utiliser: une récurrence sur N?Ou bien y aler directement comme ca.

  15. #14
    T@kniX

    Re : Limite + Continuité

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Euh, je suis en mp*
    Je comprend mieux alors ^^

    Concernant l'application donc j'ai posé le déplacement en fonction du temps :
    x(t) de [0,1] -> [0,20] (t en heure)
    Donc avec x(0)=0 et x(1)=20

    Ensuite j'ai posé f(t) = -(x(t)-10)^2+100
    Donc on a bien f(0) = f(1) (=0) ce qui ramène aux hypothèses précédentes.

    Déjà est-ce que je pars bien là ?

    Ensuite j'ai donc d'après la question précédente : f(tn + 1/n) = f(tn)

    Et je dois montrer x(t0 + 1/20) - x(t0) = 1 c'est ça ?

    Si tout ce que j'ai dit est correct, je ne vois pas comment passer de f(tn + 1/n) = f(tn) à x(t0 + 1/20) - x(t0) = 1 ....

    Encore un petit effort, c'est presque fini ^^



    Edit : Leonheart, qu'est-ce que tu n'as pas compris ?
    La somme des g(k/n) = 0 ?

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