suite récurrente homographique

[maatty]

Bonjour à tous
je voudrais savoir comment peut-on être sûr qu'une suite définie par où f est une fonction homographique, est bien définie.
Plus précisément, existe-t-il une méthode générale permettant à partir de , d'être sûr qu'aucun terme annulera le dénominateur, ou bien doit-on le faire au cas par cas en invoquant des arguments de stabilité (par récurrence par exemple)?

Je vous remercie de l'aide que vous saurez m'apporter
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[gg0]

Bonjour.

Dans la suite, je suppose que f est une vraie fonction homographique (*).
Il y a un cas où il n'y a pas de problème : Si f est définie de dans (**), alors f(x) n'annulera jamais le dénominateur.
Si ce n'est pas le cas, s'il existe tel que f est définie de dans , on sait que f est une bijection et soit g sa réciproque. Alors g(b) le permet pas d'appliquer f; g(g(b)) ne permet pas d'appliquer f deux fois. Et ainsi de suite. Il y a alors une suite récurrente homographique de valeurs qui ne peuvent pas être le premier terme d'une suite définie par f.

Cordialement.

(*) f(x) = (ux+v)/(mx+p) avec m et up-mv non nuls
(**) comme par exemple

[maatty]

Merci, c'est éclairant

[maatty]

Bonjour,

en revenant plus en détail sur votre réponse, je bloque un peu sur un point. Le premier cas ne pose pas de problème mais dans le second, g ne devrait même pas être définie en b; où me trompe-je?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement, c'est g(a), g(g(a)), etc.

Désolé !