Vecteur propre et état stationnaire

[iPhysics]

Bonjour,

je me retrouve face à une incohérence (ou pas d'ailleurs, se peut-il que j'aie mal compris) vis à vis d'une définition que voici :

représente un état stationnaire → : doit satisfaire:

où P est la matrice stochastique de transition associée à une chaîne de Markov (modèle PageRank).

est un vecteur propre (à gauche) de P associé à la valeur propre 1.


On sait aussi que



est un vecteur propre (à droite) de associé à la valeur propre 1.


Seulement, si je me retrouve par exemple face à cette matrice de transition dont je désire connaître l'état stationnaire :



Je calcule le vecteur propre associé à la valeur propre 1 : cela me donne le vecteur : et on a en effet :




Seulement voilà, si j'applique l'autre définition (qui ne fait que transposer la première ?), je trouve donc :

avec le vecteur propre associé à la valeur 1 :

L'égalité de la définition est également respectée. Dés lors, je ne comprend pas pourquoi je n'obtiens pas des vecteurs mu transposés l'un de l'autre ?

Merci d'avance
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[minushabens]

tu as dû te tromper dans tes calculs, parce que de m=mp on déduit m'=p'm' (je note x' le transposé de x).

par contre fais attention à ce fait: tu parles du vecteur propre associé à une valeur propre mais en fait ce vecteur n'est pas unique.

[iPhysics]

C'est justement cela qui m'inquiète, c'est que je n'arrive pas à respecter cela.

Pour être certain, j'ai également vérifié numériquement les vecteurs propres (je parle "du" vecteur propre associé à 1 puisque je ne considère que le vecteur normalisé, mais en effet il n'est pas unique), et pour ma matrice P, j'obtiens bien un vecteur propre de (0.5 ; 0.5).

Mais en effet, lorsque je fais cela me donne (1.55 ; 0.45) (j'ai mal calculé, je ne sais pas comment). Tout me porte à croire que la première définition provenant d'un cours est erronée, puisqu'un vecteur propre de P n'aboutit pas à la relation .

En revanche, en calculant toujours numériquement les vecteurs propres associées à la valeur 1 pour la matrice transposée, je tombe en effet sur le résultat que j'ai calculé et la relation est bien respectée. Ainsi, si je la transpose, en gardant le mu qui est (15/19 ; 4/19), la relation est respectée.

Alors, dans ce cas, la définition donnée dans le cours pour un état stationnaire serait erronée dans le sens où le mu en question n'est pas un vecteur propre de P associé à 1 ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Je pense que votre problème est un problème de convention. Votre cours utilise-t-il des vecteurs colonnes ou des vecteurs lignes ? En fonction de la convention utilisée, vous obtenez des résultats différents. Faites également attention à la convention employée par votre calculateur numérique (qui peut être différente de celle de votre cours!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Iphysics.

L'égalité

est sujette à caution !! Fais vraiment le calcul que tu as écrit !!

Ce qui ne va pas, c'est que lorsque tu fais calculer des vecteurs propres de tes matrices, ce sont des vecteurs colonne. Et il n'y a aucune raison pour que si V=AV, on ait V' = V'A (' pour la transposée); sauf si A est symétrique, puisque tu sais que V=AV donne V'=V'A'.

Cordialement.

[iPhysics]

Mon cours ne définit pas de convention particulière. En fait, le fait que j'utilise des vecteurs lignes ou colonnes, c'est pour que le produit matriciel soit cohérent (ainsi, pour je m'efforce à prendre un vecteur mu sous forme de ligne, mais pour l'autre égalité, je prend un vecteur colonne.

En ce qui est du calcul de l'égalité, je me suis en effet rendu compte qu'elle était fausse (en relisant mes notes, j'ai en réalité réalisé le calcul avec ma matrice transposée, d'où le fait que le résultat soit juste. Cependant, cela veut donc bien dire qu'il y a une erreur dans l'énoncé qui affirme que avec mu l'état stationnaire qui est un vecteur propre de P associé à la valeur 1.

En m'essayant à quelques exemples, il semble que l'état stationnaire soit donné par le vecteur propre normalisé associé à la valeur propre 1 de la matrice P transposée , qui n'est pas simplement un vecteur propre
(associé à la valeur 1 de la matrice P) simplement transposé.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Mon cours ne définit pas de convention particulière.

Cela devrait être pourtant quelque part, car il faut forcément utiliser une convention ou l'autre. Il n'y a pas une section du type "notations employées" ? Ou cela n'a-t-il pas été spécifié d'une manière ou d'une autre ?

En fait, le fait que j'utilise des vecteurs lignes ou colonnes, c'est pour que le produit matriciel soit cohérent (ainsi, pour je m'efforce à prendre un vecteur mu sous forme de ligne, mais pour l'autre égalité, je prend un vecteur colonne.

Je vous déconseille fortement de faire ce type de mélange. Cela conduit typiquement au genre de problème que vous avez. Pensez plutôt en terme de vecteurs et vecteurs transposés.

Quand je vois des expressions du type et , j'aurais tendance à dire que la convention utilisée est celle du vecteur ligne. Pour moi, c'est moins intuitif que la convention du vecteur colonne, mais j'ai déjà vu des cours avec l'une ou l'autre convention.