Processus de Poisson

[ClegganSwan]

Bonjour !

Je commence à voir en détails le processus de Poisson. J'ai un devoir à rendre donc l'énoncé est le suivant :

Considerez un processus d’arrivées indépendantes dans des unités de temps de
longueur h = 1/n, avec la probabilité d’une arrivée par unité de temps égale a λ.
1. Montrer que la limite quand n → ∞ d’une loi binomiale B(n, p) avec p =λ/n
est la loi de Poisson avec espérance λ, directement et aussi en utilisant la fonction génératrice des
probabilités ou des moments.
2. Soit K(i)i = 1, 2, ... les nombres d’intervalles separant les arrivées consécutives. Montrer que
les temps t(i)n =K(i)n/n entre les arrivées consécutives convergent vers des loi s exponentielles
de paramètre λ, pour i = 1, 2.
3. Considerez un processus d’arrivées indépendantes, avec la probabilite d’une arrivée par unité
de temps égale a λ. Trouver la loi jointe des nombres d’arrivés dans deux unitées
de temps consécutives, en subdivisant chaque unitée en n periodes d’observation et en regardant la limite en
n → ∞.

Je vois comment résoudre les autres questions mais je ne vois pas du tout comment démarrer la question 3. Est-ce que l'un d'entre vous auraient des idées ?

Merci d'avance pour vos réponses !!
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[minushabens]

comment est-ce qu'on définit un processus ponctuel à arrivées indépendantes? la définition que je connais est : les nombres d'arrivées dans des intervalles disjoints sont des variables aléatoires indépendantes, mais ça ne doit pas être ta définition parce que sinon la question posée serait triviale.

[ClegganSwan]

Bonjour, j'ai ça dans mon cours qui pourrait aider.
Pour h → 0, la loi approximative de Nλ(h) est une loi de Bernoulli de paramètre λh, i.e. P[Nλ(h) = 1] ∼ λh + O(h²), P[Nλ(h) = 0] ∼ 1 − λh + O(h²), P[Nλ(h) ≥ 2] ∼ O(h²).
Cela suggère d’aborder l’étude du processus de Poisson unidimensionnel en discrétisant le temps : on partagera chaque unité de temps en n unités ”infinitesimales” de longueur h = 1/n,
et en ignorant la possibilité des deux, trois, ... arrivées. Cela remplace le processus d’arrivées en
temps continu par un processus de Bernoulli (lancés d’une monnaie) en temps discret. Ensuite,
en laissant n → ∞ ⇔ h → 0, on arrive au processus de Poisson.

[minushabens]

la démonstration que je connais du fait qu'un processus ponctuel stationnaire et à accroissements indépendants est nécessairement le processus de Poisson est la suivante:

on fixe une origine du temps 0 et on remarque que l'hypothèse d'indépendance implique que la distribution du processus pour t>0 ne dépend pas du fait qu'il y ait ou non un point en t=0. On note X la variable aléatoire du temps avant le premier point du processus (le premier événement, la première occurence, selon les terminologies). On note F la "fonction de survie" de X : F(t)=Pr(X>t)

alors on a F(t+s)=Pr(X>t)Pr(X>t+s|X>t) (ça c'est la simple définition d'une probabilité conditionnelle)
d'où F(t+s) = Pr(X>t)Pr(X>s) = F(t)F(s) (ça c'est du fait de la remarque faite plus haut)

on a donc une équation fonctionnelle pour F(t) qui n'est vérifiée que par la fonction exponentielle.

tu vois qu'on n'a pas besoin de découper les intervalles en petits morceaux. Mais on doit pouvoir imiter ce raisonnement en en restant à la loi de Bernoulli, tu peux peut-être essayer de le faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ClegganSwan]

D'accord merci de votre réponse je crois que j'ai réussi !!