Égalité d'ensembles.

[LeBronE17]

Bonjour à tous,
Je suis actuellement en math Spé (PSI), je prépare donc les concours, et en réalisant un sujet de concours j'arrive à une question où l'on doit démontrer une égalité entre deux ensembles.
Point méthodologie tout est ok de mon côté (double inclusion etc.), or dans la correction proposé, afin de démontrer une égalité d'ensembles, le correcteur montre que seulement l'un est inclu dans l'autre et que le cardinal de leurs bases sont égaux.

Est-ce vraiment viable de procéder comme le correcteur l'a fait ? Est-ce que cela est généralisé pour démontrer des égalités d'ensembles ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.
LeBronE17
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[gg0]

Bonjour.

Tu parles de bases, serait-ce une question d'algèbre linéaire ?
Dans ce cas, que penses-tu du cas où F est un sev de (E,+,.), avec dim(E)=dim(F) =n (entier) ? Et si E est de dimension infinie ?

Cordialement.

[LeBronE17]

Bonjour, oui en effet je parle d'algèbre linéaire.
Effectivement le contre exemple que vous avancez est très efficace pour répondre à ma question. J'en déduis qu'il ne faut pas seulement que l'un soit inclu dans l'autre et qu'ils aient les mêmes dimensions.
Ai-je juste ?
Cordialement.

[gg0]

En dimension finie, un sev de E de même dimension que E est E lui-même (quasiment une question de cours). En dimension infinie, il y a des sev stricts de même dimension; par exemple dans l'ev des polynômes réels, le sev des polynômes nuls en 0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b0c5bca]

Oui ,C'est suffisant et toujours vrais pour les ensembles de taille fini , soit a demontré par exemple A=B
A INCLU dans B signifie que tous les elements de A sont aussi des elements de B et si on supposse qu'un element de B
n'appartient pas A cela veut dire que card(A)<card(B) absurde donc aussi B inclu dans A ce qui garanti par l'egalite des
taille ce qui est equivalent a la double inclusion

[LeBronE17]

Voilà j'avais oublié le fait que cela suffisait en dimension finie.
Merci beaucoup pour votre aide.
Cordialement.