égalité de 2 ensembles

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bonjour,
j'aimerai savoir si pour prouver l'égalité de 2 ensemble on pouvait dire que l'un est inclus dans l'autre et que leur dimension sont les mêmes:
Par exemple F+G=R³
Imaginons que j'ai F+G inclus dans R³
et comme dim(F+G)=dimF+dimG=dimR³ alors on a F+G=R³

j'aurais aussi une autre question (en relation avec ce qui précède) pourquoi pour que dimR³=dim F+ dimG il faut que dim(F inter G)=0
puisqu'on a toujours dimR³=dim(F+G) je ne vois pas pourquoi on s'occupe de l'intersection

merci
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[Seirios]

Bonjour,

j'aimerai savoir si pour prouver l'égalité de 2 ensemble on pouvait dire que l'un est inclus dans l'autre et que leur dimension sont les mêmes

Bien sûr (en remplaçant le mot "ensemble" par "sev"), c'est une propriété à connaître absolument, elle est souvent utile. Tu peux la montrer assez facilement : si (avec F et G des sev de même dimension), alors une base de F sera libre dans G, et même génératrice à cause de l'égalité des dimensions, d'où l'égalité.

j'aurais aussi une autre question (en relation avec ce qui précède) pourquoi pour que dimR3=dim F+ dimG il faut que dim(F inter G)=0
puisqu'on a toujours dimR3=dim(F+G) je ne vois pas pourquoi on s'occupe de l'intersection

De manière générale, si tu as (avec F et G des sev de E), alors .

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merci pour ta réponse
mais en faite dans le théorème avec le sev on dit dimF=dimE ou F est un sev de E
ici j'ai dit dim(F+G)=dimR^3 mais je n'ai pas parlé de l'intersection, pourtant celle ci doit être nulle pourquoi?

[Seirios]

Je ne vois pas vraiment ton problème : si tu as et , tu as , mais cela ne veut pas dire que , ce qui est vrai seulement si la somme est directe.

Par exemple, si tu prends et , tu as et .

[A voir en vidéo sur Futura]

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d'accord merci