Démontrer une égalité d'ensembles

[Egao]

Bonjour, je cherche à démontrer que, pour A B C et D 4 ensembles quelconques :
(AuB)x(CuD) = (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)

J'ai donc essayé en posant : A = {a}, B = {b}, C = {c} et D={d}
Si je ne me trompe pas, cela fait :

(AuB)x(CuD) = { {{a},{b}}, {{c},{d}} }
(AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD) = { (a,c),(a,d),(b,c),(b,d) }

Mais comme (a,b) = {{a},{a,b}}, si je développe la seconde ligne, je n'aurai pas d'égalité.
Peut être que je me suis trompé dans les notations avec couple et ensemble ?
Merci d'avance de votre aide
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[Médiat]

Bonjour,

(AuB)x(CuD) = { {{a},{b}}, {{c},{d}} }

Non, en fait c'est (AuB)x(CuD) = {a,b} x {c, d}

[Egao]

Bonjour,

Non, en fait c'est (AuB)x(CuD) = {a,b} x {c, d}

Merci,
On a donc :
(AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD) = {a,b,c,d} (si je comprends bien les règles de l'union)
et
(AuB)x(CuD) = {a,b}x{c,d} qui constitue un ensemble comprenant à la fois {a,b} et {c,d} donc
= {a,b,c,d}

Est-ce que cela est correct et suffit pour démontrer l'affirmation ?

[gg0]

Bonjour Egao.

Si A={a,b} et B={1,2,3}, quels sont les éléments de AxB ? Révise ton cours avant de répondre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Egao]

Bonjour Egao.

Si A={a,b} et B={1,2,3}, quels sont les éléments de AxB ? Révise ton cours avant de répondre.

Cordialement.

Bonjour,

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2) ,(b,3)}

Donc pour mon exercice,
(AuB)x(CuD) = {a,b}x{c,d} = {(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)} =/= {a,b,c,d}

C'est bien cela ?
Merci

[gg0]

Tu as vraiment besoin qu'on confirme ? Tu n'es pas capable de vérifier toi-même que tu appliques les règles ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Bonjour, je cherche à démontrer que, pour A B C et D 4 ensembles quelconques :
(AuB)x(CuD) = (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)

J'ai donc essayé en posant : A = {a}, B = {b}, C = {c} et D={d}

Je suppose que tu prends ce cas particulier pour te "faire la main".

Ensuite il te faudra passer au cas général. Tu peux procéder par double inclusion, cela se fait très simplement. Tu peux démarrer de la façon suivante :

Soit , donc et

1er cas : et

Donc et la conclusion est immédiate.


Etc, etc, ... A toi de jouer


Cordialement

[Egao]

Bonjour,



Je suppose que tu prends ce cas particulier pour te "faire la main".

Ensuite il te faudra passer au cas général. Tu peux procéder par double inclusion, cela se fait très simplement. Tu peux démarrer de la façon suivante :

Soit , donc et

1er cas : et

Donc et la conclusion est immédiate.


Etc, etc, ... A toi de jouer


Cordialement

Bonsoir,
J'avais écrit un long message mais en voulant passer en mode avancé il a disparu. Je fais donc court!
Tout d'abord merci pour votre aide! J'ai un peu de mal avec les produits cartésiens puisqu'ils sont difficilement imaginables avec les "patates"

En suivant les 4 cas j'ai pu facilement trouver l'inclusion.
Réciproquement, si je ne me trompe pas encore avec le produit cartésien (sans latex désolé)
(x,y) appartient (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)
=> x appartient (AuAuBuB)
et y appartient (CuDuCuD)

D'où x appartient à (AuB) et y appartient à (CuD)
On a prouvé la double inclusion

Cordialement

[gg0]

Bonsoir.

"(x,y) appartient (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)
=> x appartient (AuAuBuB)" ??? preuve ? AuAuBuB, c'est AuB.

Bien plus simple (x,y) appartient (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)
=> (x,y) appartient à AxC ou à AxD ou à BxC ou à BxD
Et il suffit d'examiner chacun de ces cas !

Et là, tu appliques simplement les définitions.

Cordialement

[Egao]

Bonsoir.

"(x,y) appartient (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)
=> x appartient (AuAuBuB)" ??? preuve ? AuAuBuB, c'est AuB.

Bien plus simple (x,y) appartient (AxC)u(AxD)u(BxC)u(BxD)
=> (x,y) appartient à AxC ou à AxD ou à BxC ou à BxD
Et il suffit d'examiner chacun de ces cas !

Et là, tu appliques simplement les définitions.

Cordialement

Comme la définition du produit cartésien c'est (x,y) appartient à AxB => x appartient à A et y appartient à B, j'ai pensé que si on fait une union de produits cartésiens il suffit juste d'ajouter l'union entre les ensembles pour faire l'appartenance (c'est pour ça que j'ai d'abord précisé AuAuBuB avant de dire que c'est équivalent à AuB, si je me fais bien comprendre).
C'est donc que je suis allé trop vite.
Merci pour votre précision,
Cordialement