petit o et équivalence

[maatty]

Bonjour à tous
je voudrais savoir si on avait les implications:
.
En appliquant les définitions, il me semble que oui, mais je voudrais être sûr; on ne trouve pas vraiment cela dans la "littérature"

Je vous remercie
-----

[gg0]

Bonjour.

Si tu as appliqué le définitions, en quoi ce que je pourrais dire vaudra mieux que ta preuve ?
Expose ici ce que tu as fait, s'il y a un souci, quelqu'un saura bien le déceler. Mais si tu es sûr de ce que tu as fait, pourquoi y aurait-il un soucie ?

Cordialement.

NB : même si ces propriétés ne sont pas énoncées dans tous les cours, elles sont d'usage courant.

[invite9dc7b526]

Je trouve la proposition de maaty mal écrite. o(un) n'est pas une fonction. Je préfèrerais un énoncé comme u~v => f=o(u) <=> f=o(v)

[maatty]

Je trouve la proposition de maaty mal écrite. o(un) n'est pas une fonction. Je préfèrerais un énoncé comme u~v => f=o(u) <=> f=o(v)

Oui, quand j'écris:
, je considère comme l'ensemble des suites négligeables devant . Il s'agit donc d'une égalité entre ensembles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

Bonjour.

Si tu as appliqué le définitions, en quoi ce que je pourrais dire vaudra mieux que ta preuve ?
Expose ici ce que tu as fait, s'il y a un souci, quelqu'un saura bien le déceler. Mais si tu es sûr de ce que tu as fait, pourquoi y aurait-il un soucie ?

Cordialement.

NB : même si ces propriétés ne sont pas énoncées dans tous les cours, elles sont d'usage courant.

Bonjour ma démonstration est un peu longue à écrire en gros:
si est non nulle à partir d'un certain l'équivalence signifie que pour tout , pour n suffisamment grand:.

Si la suite est à signe constant à partir d'un certain rang, on obtient un encadrement de en fonction de (et epsilon) . Si on prend alors , on obtient un majoration (à partir d'un certain rang) en fonction de et donc de

L'idée est la même pour les petit o.
J'aurais dû préciser ma question. J'ai le sentiment que ma démonstration n'a pas de faille tant que l'une des deux suites est de signe constant à partir d'un certain rang (pas de souci donc si les suites convergent vers l non nulle ou bien ont pour limites )
Intuitivement je dirai que cela marche aussi si les suites changent de signe mais je voudrais être sûr (et cela me semble lourdingue de faire "36" disjonctions de cas selon que les suites sont à termes de signe constant ou non)

[gg0]

En fait, tu utilises une définition de l'équivalence un peu compliquée et pas vraiment générale. On peut utiliser ces définitions :
* s'il existe une suite tendant vers 1 telle que
* s'il existe une suite tendant vers 0 telle que
* s'il existe une suite bornée telle que
Elles rendent les preuves demandées très faciles. Elles ont comme conséquences immédiates les définitions que tu connais.

Cordialement.

[maatty]

Effectivement!!
je vous remercie.

[gg0]

En fait, j'ai donné des définitions un peu trop restrictives, ce qui se passe au voisinage de l'infini est seul à prendre en compte, on prend plutôt :
* s'il existe une suite tendant vers 1 et un entier tels que
* s'il existe une suite tendant vers 0 et un entier tels que
* s'il existe une suite bornée et un entier tels que .

Cela permet à d'être non nul quand l'est dans les premiers termes de la suite. par contre, si , alors doit être aussi nulle à partir d'un certain entier (ultimement stationnaire à 0).

Cordialement.

[maatty]

merci, mais c'est ainsi que je l'avais interprété