Espace euclidien

[Qom]

Bonjour,
Je travaille actuellement sur les espaces euclidiens. Dans la définition, un espace euclidien est défini comme un espace vectoriel sur le corps R. Je me dis donc que C^n pourrait en être un. Mais quand je prends la définition de produit scalaire, je rencontre un problème car l'ensemble d'arriver (du produit scalaire) est R or il devrait être C avec C^n comme espace euclidien non ?
Après avoir réalisé quelques recherches, je me suis rendu compte que le produit scalaire était parfois défini à valeurs dans K.
Dans mon cas (je suis en PSI), comme le produit scalaire est défini dans R, cela signifie que les espaces euclidiens sont forcément du type R^n non ? Et de la même façon Mn(R) au lieu de Mn(C)?
J'espère avoir été clair dans mes propos. Merci d'avoir pris le temps de lire mon message.
Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Un espace euclidien réel n'est pas nécessairement un R^n (cependant s'il est de dimension n, il est isomorphe à R^n). Pense par exemple à l'espace des endomorphismes de R^2.
C^n peut tout à fait être muni d'une structure d'espace vectoriel réel, de dimension 2n, par les opérations habituelles d'addition des n-uples et de multiplication par un réel. Il suffit de le munir d'un produit scalaire adapté, qui donne bien un réel.
Par exemple, sur C², on prendra <(a+ib,c+id),(e+if,g+ih)> = ae+bf+cg+dh.

Tu verras peut-être la généralisation aux espaces complexes (espaces hermitiens), où le produit scalaire est remplacé par une forme sesquilinéaire et on a bien un complexe.

Cordialement.

[Qom]

Tout d'abord, merci pour votre réponse claire et rapide.
Est ce que le produit scalaire que vous avez défini correspond au produit scalaire canonique de C^n ou faut il avoir vu la généralisation pour connaître celui ci ?
Cordialement

[gg0]

Je ne sais pas qui est le "produit scalaire canonique de C^n", mais je l'ai construit à partir du produit scalaire canonique de R^4. A partir de l'isomorphisme de R-espace vectoriel donné par (a+ib,c+id)-->(a,b,c,d).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]