Inégalité et sup des dérivées

[henryallen]

Bonjour,

J'ai trouvé un exercice que voici:
Soit . Pour , soit .
Montrer que .

J'ai cherché à appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange. En fixant quelconque, pour tel que , on a:
.
Donc par inégalité triangulaire, puis:
.

A partir de là, on peut bien écrire qu'on a , mais ce qui est inférieur à 1 et qui reste dans le membre de gauche m'embête ...

J'ai bien cherché à raisonner autrement, sans succès ...

Si vous pouviez m'aider, en me mettant peut-être sur la bonne voie, je vous en serais reconnaissant.

Merci d'avance, et bonne fin de journée à vous.
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[pilum2019]

Soit z le nombre qui réalise le maximum de la valeur absolue la fonction dérivée f ' sur [ 0 ; 1].
Tu fais deux taylor-lagrange à l'ordre 2 :
f(0) = f(z) + etc...
f(1) = f(z) + etc....
et je te laisse réfléchir à la suite.

[henryallen]

Bonjour,

Merci pour votre réponse !

J'obtiens donc ceci:

Soit donc tel que .
On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 et en 1, ce qui donne:
et .

Alors .

On a ainsi car .
Et alors ou encore: .

Merci encore,
Bonne soirée.