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Inégalité et sup des dérivées



  1. #1
    henryallen

    Inégalité et sup des dérivées


    ------

    Bonjour,

    J'ai trouvé un exercice que voici:
    Soit . Pour , soit .
    Montrer que .

    J'ai cherché à appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange. En fixant quelconque, pour tel que , on a:
    .
    Donc par inégalité triangulaire, puis:
    .

    A partir de là, on peut bien écrire qu'on a , mais ce qui est inférieur à 1 et qui reste dans le membre de gauche m'embête ...

    J'ai bien cherché à raisonner autrement, sans succès ...

    Si vous pouviez m'aider, en me mettant peut-être sur la bonne voie, je vous en serais reconnaissant.

    Merci d'avance, et bonne fin de journée à vous.

    -----

  2. #2
    pilum2019

    Re : Inégalité et sup des dérivées

    Soit z le nombre qui réalise le maximum de la valeur absolue la fonction dérivée f ' sur [ 0 ; 1].
    Tu fais deux taylor-lagrange à l'ordre 2 :
    f(0) = f(z) + etc...
    f(1) = f(z) + etc....
    et je te laisse réfléchir à la suite.

  3. #3
    henryallen

    Re : Inégalité et sup des dérivées

    Bonjour,

    Merci pour votre réponse !

    J'obtiens donc ceci:

    Soit donc tel que .
    On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 et en 1, ce qui donne:
    et .

    Alors .

    On a ainsi car .
    Et alors ou encore: .

    Merci encore,
    Bonne soirée.

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