Equation chiante à résoudre.

[vichente18]

Bonsoir ,

Dans la résolution de problème , je dois résoudre l'équation suivante :

x/Square ( 4-x²) + x/Square ( 9-x²) = x

J'ai tenté des élévations au carré et isoler une racine mais j'arrive à des puissances énormes de x , j'ai tenté un changement de variable c'est pas mieux.

Si quelqu'un a une idée pour venir à bout de cette équation

Merci Beaucoup !
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[invite51d17075]

x=0 ou approche numérique de l'équation

qui n'a qu'une solution , soit donc 2 pour ton équation en x².

mais bon, existe probablement une approche analytique plus complexe !

[vichente18]

Je comprends pas , tu me réponds sur quoi là ?

Je cherche la valeur de x simplement , et comment as tu simplifié par x dans la fonction ?

2 ne peut pas etre solution sinon il y a une division par 0.

[jacknicklaus]

Je cherche la valeur de x simplement , et comment as tu simplifié par x dans la fonction ?.

si on interprète bien ton écriture avec des "Square()" (??) comme



il est clair que x = 0 est solution.
pour les autres solutions, il est légitime de simplifier par x. Il reste à étudier la fonction



Questions utiles à se poser : quelle est l'allure de cette fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[vichente18]

Merci jack pour ta réponse.

Oui c'est bien la bonne interprétation , or la question peut paraitre bete mais qu'elle est la règle mathématique qui te permet de simplifier par x? On a x et des racines on ne peut pas simplifier ça facilement , si ?
Oui x=0 est solution de façon triviale mais ce n'est pas la solution recherchée pour le problème. La réponse est 1.123 qui est effectivement une autre solution de cette équation et solution du problème. Ma question est surtout comment faire pour résoudre cette équation et sans passer par la méthode analytique mais en utilisant l'algèbre pure. Comment transformer mon expression en une équation polynomiale ?
Tout de façon analytiquement , là il faut calculer la dérivée de cette fonction pour avoir les changements de direction et après faire une méthode de newton par exemple pour remonter aux racines , ce n'est pas mon but ici.

[vichente18]

C'est bon pour la simplification c'est tout simple j'ai honte d'avoir demandé.

[jacknicklaus]

La réponse est 1.123

Non, il y a évidemment deux solutions opposées l'une de l'autre, dont une approximation numérique est (+ ou -) 1.231185

On peut tomber sur une équation de degré 4 avec le changement de variable u² = 4 - x², dont on montre qu'il est légitime.

Cette équation n'a pas de solution simple " à la main", ce que semble indiquer un solveur numérique vu l'allure épouvantable des 2 solutions réelles données.

[invite51d17075]

bonsoir,
j'aurai du proposer de remplacer le x² par un X positif pour plus de clarté.
mais je pensais que
c'était compréhensible en l'état.
pour le reste tu peux voir que la fonction

est strictement croissante sur R+ et donc faire une itération "à la Newton" qui converge assez vite.

[invite51d17075]

bonsoir,
j'aurai du proposer de remplacer le x² par un X positif pour plus de clarté.
mais je pensais que
c'était compréhensible en l'état.
pour le reste tu peux voir que la fonction du post #4


est strictement croissante sur R+ et donc faire une itération "à la Newton" qui converge assez vite.

le latex deconne encore ?

[Opabinia]

Bonjour,

On obtient, en supposant |x| < 2 et en multipliant les deux termes de l'équation f(x) = 0
par le produit (4-x^2)1/2(9-x²)^1/2 :

(4-x^2)1/2 + (9-x²)^1/2 = (4-x^2)1/2(9-x²)^1/2

d'où:

(4-x²)^)1/2((9-x²)^1/2 - 1) = (9-x²)^1/2
(4-x²) = (9-x²)/((9-x²)^1/2 - 1)²

et en s'en tenant aux valeurs positives de (x):

x = [4 - (9-x²)/((9-x²)^1/2 - 1)²]^1/2 .

La solution de la nouvelle équation x = G(x) correspond à la limite de la suite itérative définie par la relation de récurrence:

u_k+1 = G(u_k) ;

la convergence est assez lente; on obtient en se limitant à 14 chiffres significatifs, et en partant de u₀ = 2:

x = 1.231 185 723 7787 (à partir de k = 19 :

[Opabinia]

Rectification: en partant de u₀ = 1 , la stabilisation sur 14 chiffres se produit à partir de k = 18 .

[Biname]

Oui, C du lourd

https://www.wolframalpha.com/input/?...C2%B2%29+%3D+x


Biname

[invite51d17075]

Rectification: en partant de u₀ = 1 , la stabilisation sur 14 chiffres se produit à partir de k = 18 .

Pardon mais une itération à la Newton avec une fonction en x ( et non x² ) converge comme une formule 1 à coté.
et pourquoi 13 chiffres ( c'est dingo , non ? )

[vichente18]

C'est bon merci j'ai trouvé.
Oui jack j'ai inversé les chiffres c'est bien 1.231 et non 1.123.
J'ai réussi à atteindre l'objectif d'aboutir à une équation polynomiale , c'est ce que je voulais.

[Opabinia]

Pardon mais une itération à la Newton avec une fonction en x ( et non x² ) converge comme une formule 1 à coté ...

Je ne doute pas que le procédé de Newton soit plus rapide; je proposais un moyen parmi d'autres permettant d'accéder à la racine.

et pourquoi 13 chiffres ( c'est dingo , non ? )

Ma calculatrice donne 14 chiffres significatifs et se prête à une programmation élémentaire très rapide. On peut bien sûr utiliser un logiciel utilisant une précision arbitraire.