Bonjour,
J'ai commencé à étudier la topologie et je suis tombé sur une démonstration que je n'arrive pas à comprendre.
Ce que l'on veut prouver : Soitpour chaque
, alors X est un espace compact non métrisable.
On note C(X) l'espace des applications continues de X dans. C(X) est muni de la norme de la convergence uniforme.
On utilisera le théorème :.
On sait que X est compact par le théorème de Tychonoff. On considère les projections canoniquesqui sont applications continues de X dans [0,1].
Prouvons que.
En effet. Soit
avec
si
alors
.
On considère une suitede C(X) et on pose
.
possède au plus un élément donc
est au plus dénombrable, a fortiori distincte de I : on peut trouver
tel que
pour tout n, et la suite (fn) n'est pas dense dans C(X).
CQFD
Je ne comprends pas grand chose. Quelle est la définition d'une suite dense et en quoi le fait que (fn) ne soit pas dense implique que C(X) soit non séparable ? (fn) n'est pas dense car on peut trouver un p_i toujours différent de fn quelque soit n ?
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