Espace compact non métrisable

[invitee954c126]

Bonjour,

J'ai commencé à étudier la topologie et je suis tombé sur une démonstration que je n'arrive pas à comprendre.

Ce que l'on veut prouver : Soit pour chaque , alors X est un espace compact non métrisable.

On note C(X) l'espace des applications continues de X dans . C(X) est muni de la norme de la convergence uniforme.
On utilisera le théorème : .

On sait que X est compact par le théorème de Tychonoff. On considère les projections canoniques qui sont applications continues de X dans [0,1].
Prouvons que .
En effet . Soit avec si alors .

On considère une suite de C(X) et on pose . possède au plus un élément donc est au plus dénombrable, a fortiori distincte de I : on peut trouver tel que pour tout n, et la suite (fn) n'est pas dense dans C(X).
CQFD


Je ne comprends pas grand chose. Quelle est la définition d'une suite dense et en quoi le fait que (fn) ne soit pas dense implique que C(X) soit non séparable ? (fn) n'est pas dense car on peut trouver un p_i toujours différent de fn quelque soit n ?
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[invite23cdddab]

Déjà, la suite d'éléments de E est dense dans E si l'ensemble est dense dans E

Ensuite, C(X) séparable veut dire qu'il existe un sous ensemble dénombrable dense dans C(X).

Donc si on montre qu'aucune suite d'éléments de C(X) n'est dense, on montre en fait qu'aucun ensemble de la forme n'est dense dans C(X), ce qui est équivalent à montrer qu'aucun ensemble dénombrable n'est dense dans C(X) (une suite te donne un ensemble dénombrable, et il suffit de numéroter les éléments d'un ensemble dénombrable pour obtenir une suite)

Et la suite en question n'est pas dense, car il existe toujours un qui ne peut pas être approché par des éléments de la suite , car tout les éléments de la suite sont à une distance supérieure à 1/3 de

[invitee954c126]

Super j'ai compris merci.